数字图像处理胡学龙等第03章图像变换

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时间:2019-08-27

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1、第3章图像变换3.1二维离散傅里叶变换(DFT)3.1.1二维连续傅里叶变换二维连续函数f(x,y)的傅里叶变换定义如下:设是独立变量的函数,且在上绝对可积,则定义积分为二维连续函数的付里叶变换,并定义为的反变换。和为傅里叶变换对。(3.1)(3.2)【例3.1】求图3.1所示函数的傅里叶变换。解:将函数代入到(3.1)式中,得其幅度谱为二维信号的图形表示图3.1二维信号f(x,y)(a)信号的频谱图(b)图(a)的灰度图图3.2信号的频谱图二维信号的频谱图3.1.2二维离散傅里叶变换尺寸为M×N的离散图像函数的DFT反变换可以通过对F(u,v)求IDFT获得(3.3)(3.4)DFT变换进

2、行图像处理时有如下特点:(1)直流成分为F(0,0)。(2)幅度谱

3、F(u,v)

4、对称于原点。(3)图像f(x,y)平移后,幅度谱不发生变化,仅有相位发生了变化。(3.5)(3.6)3.1.3二维离散傅里叶变换的性质1.周期性和共轭对称性周期性和共轭对称性来了许多方便。我们首先来看一维的情况。设有一矩形函数为,求出它的傅里叶变换:幅度谱:(a)幅度谱(b)原点平移后的幅度谱图3.4频谱图DFT取的区间是[0,N-1],在这个区间内频谱是由两个背靠背的半周期组成的,要显示一个完整的周期,必须将变换的原点移至u=N/2点。根据定义,有在进行DFT之前用(-1)x乘以输入的信号f(x),可以在一个

5、周期的变换中(u=0,1,2,…,N-1),求得一个完整的频谱。(3.7)推广到二维情况。在进行傅里叶变换之前用(-1)x+y乘以输入的图像函数,则有:DFT的原点,即F(0,0)被设置在u=M/2和v=N/2上。(0,0)点的变换值为:即f(x,y)的平均值。如果是一幅图像,在原点的傅里叶变换F(0,0)等于图像的平均灰度级,也称作频率谱的直流成分。(3.8)(3.9)(a)原始图像(b)中心化前的频谱图(c)中心化后的频谱图图3.5图像频谱的中心化2.可分性离散傅里叶变换可以用可分离的形式表示这里对于每个x值,当v=0,1,2,…,N-1时,该等式是完整的一维傅里叶变换。(3.10)(3

6、.11)二维变换可以通过两次一维变换来实现。同样可以通过先求列变换再求行变换得到2DDFT。图3.6二维DFT变换方法3.离散卷积定理设f(x,y)和g(x,y)是大小分别为A×B和C×D的两个数组,则它们的离散卷积定义为卷积定理(3.12)(3.13)【例3.2】用MATLAB实现图像的傅里叶变换。解:MATLAB程序如下:A=imread('pout.tif');%读入图像imshow(A);%显示图像A2=fft2(A);%计算二维傅里叶变换A2=fftshift(A2);%将直流分量移到频谱图的中心figure,imshow(log(abs(A2)+1),[010]);%显示变换后的

7、频谱图(a)原始图像(b)图像频谱图3.7傅里叶变换3.2二维离散余弦变换(DCT)任何实对称函数的傅里叶变换中只含余弦项,余弦变换是傅里叶变换的特例,余弦变换是简化DFT的重要方法。3.2.1一维离散余弦变换将一个信号通过对折延拓成实偶函数,然后进行傅里叶变换,我们就可用2N点的DFT来产生N点的DCT。1.以x=-1/2为对称轴折叠原来的实序列f(n)得:=(3.14)-N-10N-1NN+1f(n)图3.8延拓示意图2.以2N为周期将其周期延拓,其中f(0)=f(-1),f(N-1)=f(-N)=(3.15)=(3.16)3.对0到2N-1的2N个点的离散周期序列作DFT,得令i=2N

8、-m-1,则上式为==++==为了保证变换基的规范正交性,引入常量,定义:F(k)=C(k)C(k)=(3.17)其中(3.18)3.2.2二维离散余弦变换(3.19)DCT逆变换为【例3.3】应用MATLAB实现图像的DCT变换。解:MATLAB程序如下:A=imread('pout.tif');%读入图像I=dct2(A);%对图像作DCT变换subplot(1,2,1),imshow(A);%显示原图像subplot(1,2,2),imshow(log(abs(I)),[05]);(3.20)(a)原图(b)DCT系数图3.10离散余弦变换3.3二维离散沃尔什-哈达玛变换(DHT)前面

9、的变换都是余弦型变换,基底函数选用的都是余弦型。图像处理中还有许多变换常常选用方波信号或者它的变形。沃尔什(Walsh)变换。沃尔什函数是一组矩形波,其取值为1和-1,非常便于计算机运算。沃尔什函数有三种排列或编号方式,以哈达玛排列最便于快速计算。采用哈达玛排列的沃尔什函数进行的变换称为沃尔什-哈达玛变换,简称WHT或直称哈达玛变换。3.3.1哈达玛变换哈达玛矩阵:元素仅由+1和-1组成的正交方阵。正交方阵:

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