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《数字图像处理胡学龙等第03章图像变换》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第3章图像变换3.1二维离散傅里叶变换（DFT）3.1.1二维连续傅里叶变换二维连续函数f(x,y)的傅里叶变换定义如下：设是独立变量的函数，且在上绝对可积，则定义积分为二维连续函数的付里叶变换，并定义为的反变换。和为傅里叶变换对。（3.1）（3.2）【例3.1】求图3.1所示函数的傅里叶变换。解：将函数代入到(3.1)式中，得其幅度谱为二维信号的图形表示图3.1二维信号f(x,y)（a）信号的频谱图（b）图（a）的灰度图图3.2信号的频谱图二维信号的频谱图3.1.2二维离散傅里叶变换尺寸为M×N的离散图像函数的DFT反变换可以通过对F(u,v)求IDFT获得（3.3）（3.4）DFT变换进
2、行图像处理时有如下特点：（1）直流成分为F(0,0)。（2）幅度谱
3、F(u,v)
4、对称于原点。（3）图像f(x,y)平移后，幅度谱不发生变化，仅有相位发生了变化。（3.5）（3.6）3.1.3二维离散傅里叶变换的性质1．周期性和共轭对称性周期性和共轭对称性来了许多方便。我们首先来看一维的情况。设有一矩形函数为,求出它的傅里叶变换：幅度谱：（a）幅度谱（b）原点平移后的幅度谱图3.4频谱图DFT取的区间是[0,N-1]，在这个区间内频谱是由两个背靠背的半周期组成的，要显示一个完整的周期，必须将变换的原点移至u=N/2点。根据定义，有在进行DFT之前用(-1)x乘以输入的信号f(x)，可以在一个
5、周期的变换中（u＝0，1，2，…，N－1），求得一个完整的频谱。（3.7）推广到二维情况。在进行傅里叶变换之前用(-1)x+y乘以输入的图像函数，则有：DFT的原点，即F(0,0)被设置在u=M/2和v=N/2上。(0,0)点的变换值为：即f(x,y)的平均值。如果是一幅图像，在原点的傅里叶变换F(0,0)等于图像的平均灰度级，也称作频率谱的直流成分。（3.8）（3.9）（a）原始图像(b)中心化前的频谱图(c)中心化后的频谱图图3.5图像频谱的中心化2．可分性离散傅里叶变换可以用可分离的形式表示这里对于每个x值，当v＝0，1，2，…，N－1时，该等式是完整的一维傅里叶变换。（3.10）（3
6、.11）二维变换可以通过两次一维变换来实现。同样可以通过先求列变换再求行变换得到2DDFT。图3.6二维DFT变换方法3．离散卷积定理设f(x,y)和g(x,y)是大小分别为A×B和C×D的两个数组，则它们的离散卷积定义为卷积定理（3.12）（3.13）【例3.2】用MATLAB实现图像的傅里叶变换。解：MATLAB程序如下：A=imread('pout.tif');%读入图像imshow(A);%显示图像A2=fft2(A);%计算二维傅里叶变换A2=fftshift(A2);%将直流分量移到频谱图的中心figure,imshow(log(abs(A2)+1),[010]);%显示变换后的
7、频谱图（a）原始图像（b）图像频谱图3.7傅里叶变换3.2二维离散余弦变换（DCT）任何实对称函数的傅里叶变换中只含余弦项，余弦变换是傅里叶变换的特例，余弦变换是简化DFT的重要方法。3.2.1一维离散余弦变换将一个信号通过对折延拓成实偶函数，然后进行傅里叶变换，我们就可用2N点的DFT来产生N点的DCT。1．以x=-1/2为对称轴折叠原来的实序列f(n)得：＝（3.14）-N-10N-1NN+1f(n)图3.8延拓示意图2．以2N为周期将其周期延拓，其中f（0）＝f（－1），f（N－1）＝f（－N）＝（3.15）＝（3.16）3．对0到2N－1的2N个点的离散周期序列作DFT，得令i＝2N
8、－m－1，则上式为＝＝＋＋＝＝为了保证变换基的规范正交性，引入常量，定义：F(k)＝C(k)C(k)=（3.17）其中（3.18）3.2.2二维离散余弦变换（3.19）DCT逆变换为【例3.3】应用MATLAB实现图像的DCT变换。解：MATLAB程序如下：A=imread('pout.tif');%读入图像I=dct2(A);%对图像作DCT变换subplot(1,2,1),imshow(A);%显示原图像subplot(1,2,2),imshow(log(abs(I)),[05]);（3.20）（a）原图（b）DCT系数图3.10离散余弦变换3.3二维离散沃尔什-哈达玛变换（DHT）前面
9、的变换都是余弦型变换，基底函数选用的都是余弦型。图像处理中还有许多变换常常选用方波信号或者它的变形。沃尔什（Walsh）变换。沃尔什函数是一组矩形波，其取值为1和-1，非常便于计算机运算。沃尔什函数有三种排列或编号方式，以哈达玛排列最便于快速计算。采用哈达玛排列的沃尔什函数进行的变换称为沃尔什-哈达玛变换，简称WHT或直称哈达玛变换。3.3.1哈达玛变换哈达玛矩阵：元素仅由＋1和－1组成的正交方阵。正交方阵：
