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1、杨涤尘第一讲几何解题途径的探求第一讲几何证明的方法与技巧概述解决几何问题就是寻求条件和结论之间的逻辑通道。解决几何问题的过程是人的复杂的思维活动。因此，通过解决几何问题能使我们思维水平的提高。思维水平的提高源自我们对问题的认识，因此我们要寻求解题途径的探求方法。平面几何问题种类繁多，变化多端，这对解决者提出了高的要求。但是，只要我们在解决问题过程不断总结规律，注意问题的特征，采用一定的方法和手段，把陌生、复杂的问题转化为熟悉、简单的问题，那么我们也会很好地解决问题。概括地说，解决几何问题，我们需要对问题的条件（包括隐含的条件）、图形的特
2、点和该问题与其它问题的联系作全面地考查，这样才能较好地发现解题途径。1.直接证法:推理的每一步,都是从题设条件或已推得的的结论出发,根据已知的定义、公理、定理等,运用推理规则,推出新的结论,直到命题所需的结论为止.按照在证明中对论题的取舍不同，论证方法可分为直接证法和间接证法两种。一恰当地选择证法直接证法。直接从所给的论题下手，利用论据证明论题的正确性进行推理。几何中多数命题是采用这种方法证明的。例1已知P,Q,R依次是ABC的外接圆的的中点,PR交AB于D,PQ交AC于E.求证:DE=BD+CE.QPRABCDEI证由于所以BAP
3、=CAP.连接AR,AQ,和DI,则DRI=CAI=DAI,故A,RD,I四点共圆.因此DRI+AQP=180o.同理可证A,Q,E,I四点共圆,所以AIE+AQP=180o.而ARP+AQP=180o.故AID+AIE=180o.所以D,I,E三点共线.又ADI=ARC=ABC.所以DE//BC.因此ECI=ICB=EIC,DBI=IBC=DIB.从而BD=DI,CE=IE.故DE=BD+CE.QPRABCDEI间接证法实际就是由证明反论题的谬误而达到证实论题的正确性。如果在推理过程中反论题被
4、否定，那么就可以断定原来的论题是正确的。初等几何中的间接证法主要有反证法、同一法两种。2.间接证法:否定结论,即承认结论的反面成立,结合题设条件,进行逻辑推理,导致与已知条件或与公理、定义、定理相矛盾或前后矛盾的情形,从而间接证明结论成立.例2在△ABC中，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，AD与BE相交于H，求证：AD与BE不能被点H互相平分。证：假设AD、BE被交点H互相平分则ABDE是平行四边形。∴AE∥BD，即AC∥BC这与AC、BC相交于C点矛盾，故假设AD、BE被交点H平分不能成立.所以AD与BE不能被点H互相平分。（1）反证
5、法“原命题真确，它的逆命题不一定真确，反之亦然”.一般而言，如果一个命题的条件和结论都是唯一的，即它们所指的概念的对象都是唯一的，那么这个命题和它的某一个逆命题等价。这个性质叫做同一法则。同一法则就是同一法的逻辑根据。如果一个命题不易直接证明，而且它又符合同一法则，那么我们可以不去直接证明这个命题的正确性，而去证明它的逆命题的正确性，然后根据同一法则，肯定原命题的正确性。这种证题方法叫同一法。（2）同一法同一法一般用于初等几何证明图形具有的某种性质，而且这个命题又符合同一法则。用同一法则证明题目时它的步骤是：作图：作出具有某种性质的图形
6、；证明：证明所作图形符合已知条件；判断：根据图形的唯一性，判断所作图形与已知图形重合；结论：肯定命题的结论正确。同一法均可改用反证法。例3已知四边形ABCD中,ABD=ADB=15o,CBD=45o,CDB=30o,求证ABC是正三角形.DABCE图5.1.3证如图5.1.3,在射线BC上截取E,使BE=BA,连AE,DE,则ABC=15o+45o=60o,ABE是正三角形,故BAE=60o,AE=AB,又因为BAD=180o-(15o+15o)=150o,AD=AB,故EAD=150o-60o=90o,AD=AE,
7、即AED是等腰直角三角形,EDA=45o.但由已知,CDA=30o+15o=45o,且DC、DE在DA的同侧因而射线DC与DE重合,它们与BC的交点C和E也重合.而ABE是正三角形,故ABC也是正三角形.二及时地变更问题问题总是在转化中完成的。解题常常是将陌生的问题转化为熟悉的问题。主要的形式表现为：推理运算化（几何关系转变为代数关系，三角关系），几何关系的转化（比如线段关系变为面积关系、边的关系转化角的关系），弱化关系转化强化关系，一般关系转化特殊关系，正面关系转化为反面关系，几何关系转化为向量关系等。下面主要介绍：代数法与
8、三角法例题选讲例1设P是正△ABC的外接圆BC弧上的一点，求证：（1）PB＋PC＝PA；（2）PB•PC＝PA2－AB2。分析：问题变更为一元二次方程的根的问题。有两个根故例2过三角形ABC内一点O引三边的
