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《第1章习题及解答》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、习题1.11.判断以下数集是否作成数环。1)S={b问处z}；2)S={dHO
2、awQ};3)+z}；4)S=^a-^by/3ia,heQ^.解：1）错误。不能包含除0以外的整数。2）错误。对差不封闭。3）正确。4）正确。2.填空：1）包含5i的最小数域是{o+加0或{g+5勿a,be02）包含丄的最小数域是Q3——3•证明：如果一个数环Sh{0},那么S含有无限多个数。证Sh{0}•可设ggS,ghO,S是数环于是kaeS,讥S,其中1=0,1,2,3,…故含有无限多个数。4•证明:S={a^bia,b
3、EQ}是一个数环，F是不是数域?证S为数环，贝岭对于数的加、减、乘封闭，且1=1+0-ieS设c+c〃H0,那么c・diH0否则在〃=0的情形下,c=0,与c+di主0矛盾在〃H0的情形下,c=di,与cwQ矛盾因此a+勿_(a+bi)(c-di)_ac+bd+(be-ad)ic+di(c+di)(c一di)c1+d~ac+hd、be-ad.又由于ac十bdc2+J2be-adc2+d2・・•—eS,故S是数域。c+di证F^F2是数域，斥U笃不一定是数域。反例：设F}=R,F2={a^bia9beQ]因R
4、@坊,F?Q斥，所以片U鬥不是数域习题1.21.计算下列排列的反序数：1)75231468；2)n(n-l)---21;3)(2k)l(2k-l)2・・・(k+l)k・解1)12；2)"("+D;3)疋=i+2+・・・+£+伙・1)+伙・2)+…・+122.利用对换把排列12345变成35241o解12345“)>52341皿)>25341曲)门52413.选择i与j使1)54278i96j为奇排列;2)2il5j8973为偶排列。解1)/=3,7=12)i=4,j=64.设n元排列讥2…必的反序数是V求也・
5、】…輛排列的反序数。解ZU习题1.31.在五阶行列式中，项勺3夠％2坷4。45卫42。51如。35為4应各取什么符号?解龙(23514)W31245)=6。23。31。52。】4。45取+龙(45132)+龙(21354)=9。42。51。13。35。24取^2.写出四阶行列式中含他2且带正号的所以项。解。14。23。32。41。11。24。32。43。13。21。32。443.利用行列式的定义，计算以下两个行列式:a00/?、0c1)D二0eg00•…00100••-02002)D=!•••■•••■■••
6、•n-••-00000••-000n解1）D=acfli一adeh一hcfg+/?deg2）由于行列式D只有个〃元素不为0,且这〃个元素处于不同行和不同列，所以的展开式只有一项，即»=（.1严T.,3,2,】,”）加=（_］）V加4•证明:在n阶行列式D中，若0的个数多于n2-n,则D=0.证因为一个〃阶行列式的每一项由不同列的〃个元素的乘积作成,而题设行列式的非零元至多"1个，因而没有一项的因子全不为0,故每一项全为0,所以该行列式等于零。11…111...15•由行列式...=0,证明奇偶排列各占一半。
7、••••••11…1证由题设知行列式每一项的绝对值都等于1,又行列式等于零，说明带正号项与带负号的项的个数相等，而由定义，项的符号是：当行标是自然排列时，列标排列为偶排列时带正号，为奇排列吋带负号,故奇偶排列个半。习题1.41•计算以下行列式：3102135471364702131)■92)■9284232852313-2■1-204312341491623414916253)■94)34129162536412316253649135471354713547100解I）原式=+284322843228432
8、100二0+1354700-2843200--148760013-2413-2413-24原式=0213021302133102__0-86-10_00102-20430601100-32134-2134-202310231==4-(-13)=-5200210-00210002-3000-13123412341234原式二0-1-2-70-1-2-7()-1-2-70-2-8-10_00-44_()0-440-7-10-1300436000402)3)4)=160自下而上各行减去上面一行得1491614916
9、357935795791122227911132222原式==02.证明以下等式:1)ddbbbbdd=0;abcdaa+ba+h+ca+b+c+〃a2a+b3a+2b+c4。+3方+2c+da3a+b6。+3b+c1Oa+6b+3c+dci+bb+cc+aabca】+勺bx+qq+aA=2eqb、c,a2+b2b2+c2c2+a2a2b2c24:2)3)1adh1adb1cdh=(a+b+c+d)
