部分作业题的参考答案

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1、部分习题的参考答案练习一一、1.（血）？cos¥；2.35.122二-六•略.七、解：二实数O1+ZZ_Z_Z1+Z?1+Z21+zoz+zz=z+z'zo(z-z)(l—zz)=0由于y北0,有2-乙工0,故(z一z)(l—zz)=0ol-zz=0；u>z「=z~=lo对+y=1练习二二.略・三•证明：由函数f(z)在Z0处连续，则对任意正实数£>0,总是存在正常数/>0,使得当当

2、z-z0

3、(/),都有

4、/(z)-/(z0)

5、<£成立,从而有Iz-z0

6、<^VzeD(/)^

7、7^)-而冃/(z)-/(z())I=1/(z)-/(z0)

8、

9、<^,V

10、zeD(/)=>

11、

12、/(z)-/(z(J

13、

14、<

15、/(z)一/(z0)

16、

17、©-A=0(1)(厂T+oo),£加単砖2龙住-z<—•凹•2龙厂=0(1),(厂〜OO)2龙r即亠血■単=/(z)-A+。(1),(rToo)2兀i七§-z'由于上式左边与r无关，故得C北“⑵-A.2加吐-g_z"恥鬱.I如图9)(2)设z在的C内部，以z为圆心，充大的r为半径，作圆周C,.,使曲线C全含在C,.的内部，如图@)所示.则护在C和q围成的复连通区域图⑹：—zr内解析，且连续到边界，由柯西积分公式I脑夬密HT由于上式左边与厂无关，故有即得所以12加_A=。(1)，(厂T8).12加E7练习四oo一•解：⑴工(T)fz"n=oooo二工(-1)心(〃+l)z"-n=l

18、n=l8_二£(—i)m_F二解：/⑵二](z+l)(z+2)

19、z-1

20、v1).(z_2『oo•X(-1)〃/?=-!1]z—2丿[1]z_2丿、7<

21、z-2

22、<+°°•四•解:由于故有从而?；=o,?=on••z2e1dzo=Jo(oo1、??=()/dz=,7=0渤护心黑•侖严H=0收敛半径

23、z

24、V+oo.练习五一•解：（l）z=O为3级极点，z二2£

25、力（比=±1,±2,…）为1级极点,z二*为非孤立奇点.（2）z=l为本性奇点，z二2曲似=0,±1,±2,…）为1级极点,z二8为非孤立奇点.二.解:记/⑵=（z_］）2乙2+］），其中z=z•为1级极点,z=Z为2级极点，因此:匕_1)2&+1严=2加ReS{/⑵,4+2加Re${/(Z),1}Z=1辺加(z-l)2(z+i)・1・1・=~7tlH711—7TI.22三•解:(l)m<0,此时z=b和沪oo为孤立奇点；Res{f(z),b}=——!,Re${/(z),oo}=!.(2)m>0,此时z-a为m级极点，z二b和00均为孤立奇点；Res{/(z),b}=1Re${/(

26、z),o}=—〔Re${/(z),oo}=0.b—a)b—a)四.(1)3.2”，；⑵肋・@+b)；（3*）解1:以原点为中心，以养R为半径作围线C如图/fz丿的支点z=0及Z二8不属于C内部.故Hz丿在C所围区域上除z-i外单值解析•令0(z)=(z—沪Inz(1+z2)2由留数定理得Inz0⑵=丄・ZInz(Z+沪2Inz~(z+/)30("”I(i+iy2単G+031兀—1.4i8(1+Z2)2(h+L+1»皿+・Inz(1+z2)2dz-Res[Inz(1+z2)2d[(z—沪=2加limZTiInzd+22)2dz=2加lim如^也・2加“兰+疋—dz824其中由于l

27、imJn：=0,所以f—dz=O;丹十，比J

28、z

29、t+oo(l+z~)2"I'J3MB，(]+z2)2由于职苗乂LA1NA£°dz=0;(1+z2)2在AB上'z=x,alimr—>0/?—>4-00・Inz,abooInx,~dx(1+x2)2(x>0),lnz=lnx+dz=-dx.x+7ii,T^dx(1+x2)2Alimr—>0/?t+8比较得r+oo=Jolnx,.7—rax+7tl(1+X2)2dx0(1+x2)2+8-^^=2(1+z2)2glnx7