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1、甘肃联合大学学生毕业论文题目不等式的证明作者：柳苗苗指导老师：朱谦师范学院数学系数学教育专业10级3年制4班2013年5月1日不等式的证明方法摘要：不等式的证明是高中数学的一个难点，证明方法多种多样，近几年高考出现较为形式较为活跃，证明中经常需与函数、数列的知识综合应用，灵活的掌握运用各种方法是学好这部分知识的一个前提，下面就不等式的证明方法列举如下。关键词：比较法；综合法；分析法；换元法；增值代换法；利用“1”的代换型；反证法；放缩法；构造函数法不等式的证明是高中数学的一个难点，证明方法多种多样，近几年高考出现较为形式较为活跃，证明
2、中经常需与函数、数列的知识综合应用，灵活的掌握运用各种方法是学好这部分知识的一个前提，下面我们将证明中常见的几种方法作一列举。注意的变式应用。常用(其中)来解决有关根式不等式的问题。一、比较法比较法[1]是证明不等式最基本的方法，有做差比较和作商比较两种基本途径。1、已知a,b,c均为正数，求证：证明：∵a,b均为正数;∴同理，三式相加，可得∴二、综合法综合法[5]是依据题设条件与基本不等式的性质等，运用不等式的变换，从已知条件推出所要证明的结论。2、a、b、，，求证：证：∴3、设、、是互不相等的正数，求证：证：∵∴∵同理：∴4、知a
3、,b,c，求证:证明：∵即，两边开平方得同理可得三式相加，得5、且，证：。证：6、已知策略：由于证明：。三、分析法分析法的思路是“执果索因”：从求证的不等式出发，探索使结论成立的充分条件，直至已成立的不等式。7、已知、、为正数，求证：证：要证：只需证：即：∵成立∴原不等式成立8、且，求证。证：即：∵即∴原命题成立四、换元法换元法[2]实质上就是变量代换法，即对所证不等式的题设和结论中的字母作适当的变换，以达到化难为易的目的。9、，求证：。证明：令左∴10、，求证：证：由设，∴∴11、已知a>b>c,求证：证明：∵a－b>0,b－c>0
4、,a－c>0∴可设a－b=x,b－c=y(x,y>0)则a－c=x+y,原不等式转化为证明即证，即证∵∴原不等式成立（当仅x=y当“=”成立）12、已知1≤x＋y≤2，求证：≤x－xy＋y≤3．证明：∵1≤x＋y≤2，∴可设x=rcos，y=rsin，其中1≤r≤2，0≤＜．∴x－xy＋y=r－rsin=r(1－sin)，∵≤1－sin≤，∴r≤r(1－sin)≤r，而r≥，r≤3∴≤x－xy＋y≤3．13、已知x－2xy＋y≤2，求证：
5、x＋y
6、≤．证明：∵x－2xy＋y=(x－y)＋y，∴可设x－y=rcos，y=rsin，其中0
7、≤r≤，0≤＜．∴
8、x＋y
9、=
10、x－y＋2y
11、=
12、rcos＋2rsin
13、=r
14、sin(＋ractan)
15、≤≤．14、解不等式＞解：因为=6，故可令=sin，＝cos，∈［0，］则原不等式化为sin－cos＞所以sin＞+cos由∈［0，］知+cos＞0，将上式两边平方并整理，得48cos2+4cos－23＜0解得0≤cos＜所以x＝6cos2－1＜，且x≥－1，故原不等式的解集是｛x
16、-1≤x＜.15、－1≤－x≤．证明：∵1－x≥0，∴－1≤x≤1，故可设x=cos，其中0≤≤．则－x=－cos=sin－cos=sin(－)，∵－≤
17、－≤，∴－1≤sin(－)≤，即－1≤－x≤．五、增量代换法[3]在对称式(任意互换两个字母，代数式不变)和给定字母顺序(如a＞b＞c)的不等式，常用增量进行代换，代换的目的是减少变量的个数，使要证的结论更清晰，思路更直观，这样可以使问题化难为易，化繁为简．16、已知a，bR，且a＋b=1，求证：(a＋2)＋(b＋2)≥．证明：∵a，bR，且a＋b=1，∴设a=＋t，b=－t，(tR)则(a＋2)＋(b＋2)=(＋t＋2)＋(－t＋2)=(t＋)＋(t－)=2t＋≥．∴(a＋2)＋(b＋2)≥．六、利用“1”的代换型17、策略：做“1
18、”的代换。证明：.七、反证法反证法的思路是“假设矛盾肯定”，采用反证法时，应从与结论相反的假设出发，推出矛盾的过程中，每一步推理必须是正确的。18、若p＞0，q＞0，p＋q=2，求证：p＋q≤2．证明：反证法假设p＋q＞2，则(p＋q)＞8，即p＋q＋3pq(p＋q)＞8，∵p＋q=2，∴pq(p＋q)＞2．故pq(p＋q)＞2=p＋q=(p＋q)(p－pq＋q)，又p＞0，q＞0p＋q＞0，∴pq＞p－pq＋q，即(p－q)＜0，矛盾．故假设p＋q＞2不成立，∴p＋q≤2．19、已知、、（0，1），求证：，，，不能均大于。证明：假设
19、，，均大于∵，均为正∴同理∴∴不正确∴假设不成立∴原命题正确20、已知a,b,c∈（0，1），求证：（1－a）b,（1－b）c,（1－c）a不能同时大于。证明：假设三式同时大于∵0＜a＜1∴1－a＞0∴21、、、，，，，
