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1、学习二次函数的三个层次冯西军摘要：运用二次函数的有关数学思想方法可以解决牛活中的实际问题。木文结合笔者的教学实践论述了学习二次函数的三个层次。关键词：二次函数；数学思想方法；实际问题作者简介：冯西军，任教于陕西省西安市第四十八中学。九年级数学中“二次函数”一章是许多学生学习的一个难点，此章特点：概念多，公式多，用到了多种数学思想方法，并且把生活中许多问题抽象上升为二次函数问题。许多学生在做二次函数应用题时束手无策，进入误区，以下笔者就学牛在学习二次函数中应经历的三个阶段加以说明：一、了解、掌握二次函数基木概念，基础知识首先要给学牛举一些显而易见的抛物线的实例：如：①投出去在空中飞行的篮球运
2、行的轨迹。②从炮膛射出的炮弹的轨迹。③某些天体运行的轨迹等。为了把抛物线轨迹上的每一点数量化描述，我们采用了平面直角坐标系。在坐标系中，我们可以较完整地绘出一条抛物线的图形。并能表示出抛物线上每一点的具体坐标。用两个变量X、Y表示抛物线解析式：(1)一般式.(a、b、c是常数，a≠0)o(2)顶点式.(、h、k是常数，≠0)o(3)两点式・是抛物线与x轴的交点坐标)。(-)对于一般式・≠O)学生应掌握常数、b、c的内涵。1.的符号有两种。(1)>0,抛物线开口向上.(2)<0,抛物线开口向下。
3、
4、越大，开口越小；
5、
6、越小，开口越大。2.字母b的符号，由抛物线的对称轴图5•
7、去推导。二次函数一般式对称轴恒定是・①当抛物线对称轴在y轴右侧，若>0,可推出b<0；若<0,可推出b>0o②当抛物线对称轴在y轴右侧，若>0,可推出b>0；若<0,可推出b<0o3・c的符号由抛物线与y轴的交点决定。交点在原点上方，c>0o交点在原点下方，c<0o其次，学生要掌握二次函数一般式・（≠0）的三种标志性的点，即：顶点，与X轴的交点，与y轴的交点。以上三种点，要求学生作图时，明确地标在平面直角坐标系中，这就是要求学生能准确计算岀这三个点的坐标。（二）对于二次函数顶点•式，学生要从解析式中获取如下信息。1•抛物线开口方向①>0,开口向上；②<0,开口向下。2.抛物线对称轴x
8、二h（告诉学生，能使抛物线顶点式平方项等于零的x的值就是对称轴）。3•抛物线顶点坐标（h、k）o要让学生了解抛物线•的图像是由抛物线•通过平移，由原点（0,0）把顶点平移到（h、k）点得到的。特别指出，在已知顶点坐标的情况下，运用待定系数法求二次函数解析式，只要给出图上的一个点的坐标，即可求出值，从而确定解析式。（三）二次函数的两点式•要使学生明确只有抛物线与x轴有交点.的情况下，才有交点式的存在。字母决定抛物线开口方向和大小。xl,x2是抛物线与x轴交点的横坐标，交点是（xl,0）（x2,0）o特别指出，在给岀抛物线与x轴的交点坐标的情况下，运用待定系数法求二次函数解析式，只要给出图像上
9、一个点的坐标，把此点坐标代入两点式求出值，即可确定解析式。以上总的来说，体现了数学学习中的“数形结合思想”，充分运用“数形结合思想”是学习掌握二次函数的关键。二、运用二次函数的有关数学思想方法解决生活实际中的问题课本中要求学生能运用二次函数的思想方法去解决①最大面积问题。②最大利润问题。以下举例说明：1•如图，某跑道的周长为400m,□两端为半圆形。要使矩形内部操场的面积最大，直线跑道的长应为多少？■解：设直跑道长为，矩形面积为，则有学生解此题吋问老师，这道题图形两边半圆中间是矩形，没有抛物线出现，怎么能用二次函数顶点坐标求最大值呢？之所以产生这样的疑问，是因为学生没搞懂题中矩形长，宽的变
10、量，由于周长恒定为400m,所以可以用其中矩形的长x,表示出宽这个变量又由矩形面积公式：S=ab,得到.而上式经化简得到二次函数解析式。■再利用二次函数抛物线的性质得到面积最大时矩形长X的值。上面这道例题，对学生的要求较高，学生需掌握“数学建模”和“转化的数学思想方法”，把实际中的变量之间关系抽象的为二次函数关系，用二次函数的求极值方法解题目。三、综合运用数学中的三角知识，四边形知识，圆的知识，方程及函数知识解决数学问题这方面的题变化丰富，这里只举“抛物线与直角三角形”。近年来，以抛物线•与x轴交于两点A(xl,0),B(x2,0)・P为抛物线上除A、B外的一点，HAAPB是以＜APB为直
11、角直角三角形为基础的数学综合题在中考中频繁出现，基本可以按点P的位置分为三种情况。参考文献:⑴刘增利•教材知识详解[M].北京：北京教育岀版社，2007.
