指数、对数函数的图象特征拾遗

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1、指数、对数函数的图象特征拾遗彭洪兵(四川省都江垠八一聚源高级中学，四川都江垠611830)中图分类号：G633.6文献标识码：A文章编号：1673-0992(2010)08-129-02摘要：全面把握指对数函数图象性质，木文探究了指数函数与直线y二x的交点及交点个数，以及指数函数和与其互为反函数的对数函数的交点个数。对上述性质的探究有助于增强对函数性质的理解，同时有助于学牛形成正确的知识认知过程和结论形成过程。关键字：图象；性质；交点；反函数；归纳；转化一、容易被误读的一组图像：这是高一“对数函数的图像与性质”中的一组图像。课木以这组图像为例

2、，归纳出一般情形下的对数函数的图像及其特征，体现了教材注重对学生的观察、实验、比较、归纳、抽象等能力的培养。但它很容易被误读，而且我们看到，囿于现代教育技术的缺乏，在过去的教学实践中，这组图像在学生思维中留下了以下的印象：1.当a>l时，函数f(x)二ax的图象与y二x的图象无公共点，仅在0

3、数学教育研究也可以象物理、化学等学科一样在实验和理论思辩这两个层面上展开。思维严谨者只要利用《几何画板》进行数学验，就可以轻松解决该问题。使用《几何画板》的绘图功能，我们看到了出人意料的结果：l.a>1时，函数f(x)=ax的图象与直线y=x的图象也可能有公共点。下图1为函数y=1.4x的图象，它与育线y=x有两个公共点。2.0O,a≠l)的图象与其反函数的图象的公共点至多有3个。下图2给出了函数g(x)=0.04x和h(x)=log0.04x图像的相交情形。其中虚线为函的图像，甚至我们还可以给出一个学生容

4、易自己验证的实例：函数y=logx与它的反函数y=()x有两个不在直线y=x上的公共点(,),(,)o二、从实验数学到思辩数学以上的图例和实例使得我们想了解：(1)底数满足什么条a件时,函数f(x)=ax(a>O,a≠l)的图象与y二x的图象有公共点？(2)函数f(x)=ax(a>O,a≠l啲图象与其反函数的图象的公共点的个数以及个数与底数a的关系。结论一：(本文中的e都是自然对数的底数)1.当lO,a≠l)的图象与y=x的图象无公共点；2•当lO,a&

5、ne;l)的图象与y=x的图象有两个不同的公共点；1.当0O,a≠l)的图象与y=x的图象有唯一公共点；证明：先考虑a〉。令f(x)=ax-x,则f(x)的导数：fl(x)=axlna-l我们知道，Fl(x)≥O<=>；F(x)为增函数，Fl(x)≤O<=>；F(x)为减函数由fl(x)>0得ax=longe,即x>log(loge),令log(loge)二x,可知，f(x)二ax・x在(・∞xO上为减函数,在(x0,+8dnfin;)上为增函数

6、,f(xO)为最小值，且f(xO)=axO-xO=logae-loga(logae)(1)当最小值f(xO)>O时,f(x)>0,即ax-x>0,ax>x,函数f(x)=a(x)=ax(a>1)的图象与y二x的图象无公共点。由f(xO)e>logaea>e即a>e吋,函数f(x)=ax(a>O?a≠l)的图象与y=x的图象无公共点;(1)当最小值f(xO)=O即a>e时，函数f(x)=ax(a>l)的图象与y二x的图象有唯一公共点。此时交点坐标是(e,e)；(2)当最小值f(xO)<0即1l)的图象与

7、y=x的图象有两个不同的公共点；(3)同理可证0a>e>吋，函数y二ax的图象与其反函数的图象分别有两个、一个、零个公共点；2•当e-e≤a0考虑函数G(x的单调性。先求G(x)的导数：G

8、l(X)=axlna・显然，G(x)为增函数<二>G(x)=axlna->O<二>axx<(*)令H(x)=ax.x求得Hl(x)二x