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《巧添辅助圆妙解中考题》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、巧添辅助圆妙解中考题有一类综合性、技巧性、隐蔽性较强的平面几何问题，表曲上纯属直线型问题的题型，而利用直线型的有关知识解答可能很复杂，甚至很难找到解决问题的思路和途径，若能根据题冃的本质特征，对题设条件进行认真分析，仔细观察图形，挖掘题设中所蕴涵的内在条件潜力，找出与圆的知识相关联的背景条件，恰当地构造辅助圆模型，往往可化隐为显，化难为易，化繁为简，很快找到解题思路，为解题提供新的途径.例1(2013年武汉中考卷)如图1,E、F是正方形ABCD的边AD上两个动点，满足AE二DF,连接CF交BD于?cG,连接BE交AG于点H、若正方形的边长为2,则线段DH长度的最小值是.图1解析取AB的屮点
2、0,以点0为圆心，0A的长为半径作00,连接011、0D,易证△BAE^ACDE(SAS),所以ZABE二ZDCF,因为BD是正方形ABCD的对角线，所以AADG与ACDG关于BD对称，则ZDCF=ZDAG,所以ZDAG=ZABE,因为ZABE+ZAEB二90。，所以ZDAG+ZAEH二90。，所以ZAHB=90°,即A、B、H三点在00±,因为0是AB的中点，所以0H二12AB二1,因为0H+DH20D,所以DH^0D-0H=5-l,即当点0、H、D共线时，DH的长度最小，最小值为5-1.评注本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半等性质、直径
3、所对圆周角是直角、三角形的三边关系，确定出DH最小时点H的位置是解题关键，也是木题的难点,属于难度较大的题目•本题图形中存在一个隐圆，圆的半径是一个定值，0D的长也是一个定值，通过巧妙添设辅助圆，求最小值的问题就转化为圆外一点到圆上一点的最小值问题，利用圆的有关性质轻松化解了几何最值问题.例2（2014年重庆屮考A卷）如图2,正方形ABCD的边长为6,点0是对角线AC、BD的交点，点E在CD上，.1DE=2CE,过点C作CF丄BE,垂足为F,连接0F,则OF的长为.图2解析以BC中点G作作OG•因为ZB0C=ZCFB=90°,所以点0、B、C、F四点共,圆心为BC中点，则ZBC0二Z0FB
4、二45°,所以△BOF^ABED,则BOBE二OFED,因为DE二2CE,所以ED二4,因为BD二BC2+CD2二62,所以0B二32,根据勾股定理得BE=BC2+CE2=210,所以0F=32X4210=655.评注本题以学生熟悉的正方形为载体，主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质、四点共圆的性质以及勾股定理的应用.图形中ZB0C二ZBFC二90。，即RtABOC和RtZXBFC具有公共斜边BC是作辅助圆的隐含条件，因此通过作辅助圆是解答本题的关键.例3（2014年雅安中考卷）如图3,正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点
5、0,ACDE是直角三角形，ZCED=90°,ZDCE=30°,0E二6+22,则正方形的面积为（）・A.5B.4C.3D.2图3解析以CD中点I为圆心，IC长为半径作01,过D作DF丄0E于F,设CD=2x,则CE=CDcos30°二3x,DE=CDsin30°=x,因为ZCOD=ZCED二90。,所以0、C、E、D四点共。1,因为()D=0C,所以()D=()C,则ZDEO二45°,ZDOF二30°,则DF二EF二22x,0F=DFtan30°二62x,所以62x+22x=6+22,解得x=l,所以SABCD=4x2=4,故答案选B.评注本题考查了止方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾
6、股定理,直角三角形30。角所对的直角边等于斜边的一半的性质，图形中存在公共斜边的两个直角三角形RtACOD^RtACED,即ZC0D=ZCED=90°是解决本题的突破口，以CD为直径构造辅助圆OI,OI始终经过点0、E,即0、C、E、D四点共圆，道是“无圆却有圆”，使得问题解决变得更加容易.例4(2015年武汉中考卷)如图4,AABC,AEFG均是边长为2的等边三角形，点D是边BC、EF的屮点，直线AG、FC相交于点M.当AEFG绕点D旋转时，线段BM长的最小值是()・A.2-3B.3+1C.2D.3-1图4解析连接AD、DG、BO、0M,如图4.因为△ABC,AEFG均是边长为2的等边三
7、角形，点D是边BC、EF的中点，所以AD丄BC,GD丄EF,DA二DG,DC=DF,所以ZADG=90°-ZCDG=ZEDC,DADC=DGDF,那么△DAGADCF,即ZDAG二ZDCF.所以A、D、C、M四点共圆•根据两点之间线段最短可得：B0WBM+0M,即BMMB0-0M,当M在线段B0与该圆的交点处时,线段BM最小，此时，B0二BC2-0C2二22-12二3,0M二12AC二1,则BM二BO-OM二3-1・故答
