《最优化方法》复习题

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1、《最优化方法》复习题一、简述题1、怎样判断一个函数是否为凸函数.(例如:判断函数f(x)=昇+2兀內+2近一10州+5兀2是否为凸函数)2、写出几种迭代的收敛条件.3、熟练掌握利用单纯形表求解线性规划问题的方法(包括大M法及二阶段法).见书本61页(利用单纯形表求解)；69页例题(利用大M法求解、二阶段法求解)；4、简述牛顿法和拟牛顿法的优缺点.简述共辘梯度法的基木思想.写岀Goldstein>Wolfe非精确一维线性搜索的公式。5、叙述常用优化算法的迭代公式.(1)0.618法的迭代公式:A-=ak+（1-厂）（

2、勺一务）,心=务+吕—％),(2)Fibonacci法的迭代公式:伙=1,2,…,一1）化-知1仏二务+召一色)(3)Newton—维搜索法的迭代公式：xk+i=xk-G~'gk・(4)推导最速下降法用于问题min/(x)=—++c的迭代公式:耳+1二无一-VfgSkGkgxk(5)Newton法的迭代公式：xk+]=xk-[V2/(^)]_lV/*(xA)・(6)共轨方向法用于问题min/(x)=丄xrQx+b1x+c的迭代公式:2忑+1=J二、计算题双折线法练习题课本135页例3.9.1FR共辘梯度法例题：课本

3、150页例4.3.5二次规划有效集：课本213页例6.3.2,所有留过的课后习题.三、练习题：1、设AgR,iXn是对称矩阵，bwR”，cwR,求/(%)=丄*心+戻兀+c在任意点x处的梯度和Hesse矩阵.解V/*(x)=Ar+/?,V2/(x)=A・2、设0(/)=/(兀+力)，其屮/:/?"tR二阶可导，xgRdeRteR,试求0"(/)・解0(/)=W(x+/d)丁4,矿⑴=dFf(x~Hd)d.3、证明：凸规划minf(x)的任意局部最优解必是全局最优解.xeS证明用反证法.设住S为凸规划问题min/

4、(x)的局部最优解，即存在丘的某xeS个5邻域Ns(x),使f(x)

5、+x2-x3<20,(1)用单纯形法求解该线性规划问题;(2)写出线性规划的对偶问题;解(1)引进变量兀，兀5,兀6,将给定的线性规划问题化为标准形式:min/(%)=2xt-x2+x3;s.t.3x(+兀+耳+%=60,%j-2x2+2x3+冯=10,所给问题的最优解为x=（0,20,0）r,最优值为/=-20・（2）所给问题的对偶问题为：maxg（y）=-60^-10^-20%；皿_3”_旳_儿52,<_必+2旳_儿S_l，一开_2旳+%<1，儿力*3»°・5、用0.618法求解min0（f）=（f-3尸，要求

6、缩短后的区间长度不超过0.2,初始区间取[0,10]・解第一次迭代：取y[0,10],£=0.2.确定最初试探点人，“分别为入=^+0.382（^-^,）=3.82,m=坷+0.618（勺一马）=6・18.求目标函数值：°（人）=（3.82—3）2=0.67,°（“）=（6.18—3）2=10.11.比较目标函数值：0（人）<0（"）・比较//

7、—6f

8、=6.18—0>0.2=E・第二次迭代：a2=ax=0,Z?2=“

9、=6.18,/=人=3.82,。（角）=0（人）=0.67.入=口2+0.382®-a?）=0.

10、382（6.18-0）=2.36,0（&）=（2.36—3）2=0.4.0（入）V0（“2）,“2一°2=3.82>£・第三次迭代：a3=a2=0,b3=角=3.82,“3=&=2.36,（p（p）~0（希）=0.4.入=色+0.382（伏—色）=0.382（3.82—0）=1.46,俠入）=（1.46一3）2=2.37.（pa）>0（“3）,仇一入=3.82-1.46>£・第四次迭代：偽=人=1.46,$=b3=3.82,A4=“3=2.36,卩（人）=0（角）=0.4.“4=為+0618（勺一為）=1・46+0

11、.0.618（3.82一1.46）=2.918,°（角）=0.0067.0（入）>0（角），〃4一入=3.82-2.36>£・第五次迭代：a5=A4=2.36,b5=/?4=3.82,入二仏=2.91&卩（人）=—0.0067・“5=a5+0618（2-@）=3.262,°（“5）=0.0686・0（入）v0（“5）,“5一@=3.262-2.36>£・第六