2010年全国大学生数学建模竞赛A题全国一等奖论文

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1、数值解法在储油罐变位标定中的应用摘要本文主要采用微元分析法、数值积分法和回归分析法，对储油罐油位测量高度H和'燃油体积V建立了模型，即问题一中椭圆型储油罐无变位模型HV,椭圆型储油罐纵11'向变位模型HV，问题二中实际储油罐变位模型HV。122对于问题一中的椭圆型储油罐，探究变位对罐容表的影响，先建立无变位时的HV模型。以椭圆型储油罐左底面中心为原点，该面为xoy平面，建立空间直角坐标系。根据简单柱体的体积计算公式，得出无变位初模型。又将由模型得到的体积理论计算值与所给实际体积数据对比，发现两者大致呈线性关系。将两者进行线性拟合以对初

2、'模型进行修正，最终得到椭圆型储油罐无变位模型HV。11当储油罐发生纵向变位后，在上面所建坐标系下，用微元分析的思想，以积分的方法求得假设条件下燃油体积V关于油位测量高度H的解析解。但是由于解的复杂性，很难由直接积分的方法求得给定H的燃油体积。转而利用数值积分的方法，将积分转化为若干微元的和，借助MATLAB即求得燃油体积，这样就得到了纵向变位模型。将依模型所求的理论计算值与处理得到的实际值进行对比分析，两者关系走向基本呈线性，于是'对两者进行线性拟合，以缩小误差。最终得到精度较高的修正模型HV，以此对储油12罐进行重新标定，标定结果参见

3、附录一中的图表一。对于问题二中的实际储油罐，将其分成左球冠、中间圆柱体和右球冠三部分，参照问题一建立的空间直角坐标系，利用微元法，分别建立了各部分燃油体积关于油位测量高度H和参数(,)的积分表达式。然后将三部分的燃油体积相加，即得到储油罐内燃油体积关于变量H和参数、的积分形式解析解V(,,H)。由于积分表达式十分复2杂，依然利用MATLAB数值积分来处理。对于未知参数、，本文用回归分析法和遍历思想求解。即以较小间隔，从0取到10，让和分别遍历所有的取值点。定义一2个函数F(,)(V2(,,())hkVk(

4、)),其中h为附件2中所给的部分H数据所组成的向量，V表示与h一一对应的进（出）油量，求F的最小值，此时对应的(,)便认为是模型中的参数。依据上面方法求得2.1,4.45。再由附件2中的其余数据对模型V(,,H)进行检验和误差分析，得到相对误差集中在2%以内，验证所建模型2是合理的。关键词：数值解法遍历理论回归分析微元法1§1问题重述加油站大型储油罐在使用一段时间后，由于地基变形等原因，罐体的位置会发生纵向倾斜和横向偏转，从而导致罐容表不能准确反映储油罐内燃油的体积，因此需要求出纵向倾斜角和横向偏转角度，定期对罐容表进行

5、重新标定。本文主要解决储油罐的变位识别与罐容表的重新标定问题。问题一给出一种几何形状较简单的小椭圆型储油罐，给出了罐体无变位和倾斜角为4.1的纵向变位两种情况下的数据，要求研究罐体变位后对罐容表的影响，并算出罐体变位后油位高度间隔为1cm的罐容表标定值。问题二给出两端为球冠的圆柱形储油罐，由于两端球冠部分的体积难以测定而且较为复杂。要求利用罐体变位后在进、出油过程中的实际检测数据，得出罐内储油量与油位高度及变位参数（纵向倾斜角度和横向偏转角度）之间的一般关系，即式Vf(,,H)。并根据数据算出、。从而建立H与V的对应关系。2

6、2§2问题分析储油罐是根据无变位情况下油面高度H与燃油体积V的关系进行标定的，若要实现储油罐的变位识别和罐容表标定，就需要建立燃油体积V与油面高度H的数学模型。问题一：若要探究发生纵向变位对罐容表的影响，应首先建立无变位和发生纵向变位时，罐容表标定值与油面高度H分别满足的关系。由变量H计算发生纵向变位后的实际燃油体积，将其与罐容表的标定值进行比较，分析变位对罐容表的影响。由此，需要分别建立无变位情况下和发生纵向变位情况下，储油罐内燃油体积V与油面测量高度H的模型。利用几何知识和微积分的理论，可以很容易建立无变位情况下的模型。对于发生纵向变位，

7、可以用微元分析法，分情况计算储油罐内的实际燃油体积。得出模型后，对模型计算所得数据与题目所给数据进行比较，分析误差，加以改进。问题二：问题二要求对这种两边是球冠体，中间为柱体的实际储油罐建立燃油体积V与油面测量高度H的数学模型。由于这种储油罐的形状比椭圆型储油罐复杂，而且又发生了、的纵向倾斜和横向偏转，处理起来比较麻烦。可以将这种实际储油罐分为左球冠、中间圆柱体和右球冠三个部分，对油面测量高度为H的情况下，分别计算三个部分内燃油的体积，然后将其求和即为储油罐内燃油体积。可以采用微元法分别建立三部分内燃油体积与油面测量高度H的模型，不过要考

8、虑H取不同范围内的值时，体积求解方法可能不同。如果积分形式过于复杂，可以考虑采用积分的数值算法，用和逼近。考虑到模型建立时，参数和是未知的，可以用回归分析的方法