恒磁场之通电圆环和亥姆霍兹线圈在轴线上的磁场

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1、[解析](1)如图所示，建立坐标系。设r与z轴之间的夹角为θ，将dB进行正交分解，两个垂直分量分别为在圆上取一电流元Idl，在距离为r的轴上P点产生磁场dB，dB垂直于dl和r。dl与r也垂直，所以dB的大小为dB⊥=dBsinθ，dBz=dBcosθ。azOIrPdBIdlθθdB⊥dBzen{范例10.6}通电圆环和亥姆霍兹线圈在轴线上的磁场(1)一个半径为a的圆环，通有电流I，求环电流轴上的磁感应强度和磁矩在轴的远处产生的磁感应强度。磁感应强度随坐标变化的规律是什么？(2)两个共轴圆环电流，半径为a，电流强度都是I。求证：当它

2、们相距为a时，它们轴线中间附近为均匀磁场。这种环电流称为亥姆霍兹线圈。取距离分别为2a，a和0.5a，轴线上的磁感应强度是如何分布的？(1)一个半径为a的圆环，通有电流I，求环电流轴上的磁感应强度和磁矩在轴的远处产生的磁感应强度。磁感应强度随坐标变化的规律是什么？Bz的方向沿z轴正向，与环电流的环绕方向之间满足右手螺旋法则。由于对称的缘故，B⊥=0。azOIrPdBIdlθθdB⊥dBzen不论电流元取在何处，r和θ保持不变，因此合磁场的大小为dB⊥=dBsinθ，dBz=dBcosθ。设矢量pm=ISen=Iπa2en，pm称为环

3、电流的磁矩，其大小等于IS，方向与线圈平面的法线方向相同。环电流在轴线产生的磁场用磁矩表示为{范例10.6}通电圆环和亥姆霍兹线圈在轴线上的磁场(1)一个半径为a的圆环，通有电流I，求环电流轴上的磁感应强度和磁矩在轴的远处产生的磁感应强度。磁感应强度随坐标变化的规律是什么？磁矩如同电流一样，是一个物理作用量。如果环电流有N匝，则磁场增强了N倍，每匝通有电流I，则磁矩要定义为pm=NISen。[讨论]①如果r=a或z=0，可得环电流中心处的磁感应强度圆心处的磁感应强度最大。②如果z>>a，则z≈r，场强为用磁矩表示为磁矩在轴线远处产生

4、的磁感应强度与距离的立方成反比，与电偶极子在连线远处产生的电场强度的变化规律相同。{范例10.6}通电圆环和亥姆霍兹线圈在轴线上的磁场环电流在轴线上的磁感应强度在环心处最大，曲线中间下凹，两边上凹，说明磁感应强度先加速下降，后减速下降。当距离比较远时，例如4a，环电流的磁感应强度就与磁矩的磁感应强度相差无几。[解析](2)一个半径为a的环电流在离圆心为z的轴线上产生的磁感应强度大小为如图所示，设两线圈相距为2L，以O点为原点建立坐标，两线圈在场点P产生的场强分别为(2)两个共轴圆环电流，半径为a，电流强度都是I。求证：当它们相距为a

5、时，它们轴线中间附近为均匀磁场。这种环电流称为亥姆霍兹线圈。取距离分别为2a，a和0.5a，轴线上的磁感应强度是如何分布的？方向相同，合场强为B=B1+B2。zO2IOzaO12LIaP{范例10.6}通电圆环和亥姆霍兹线圈在轴线上的磁场通过观察一个环电流产生的磁感应强度曲线可知：强度曲线中间是上凸的，在两边是上凹的，两边凸凹接合处各有一个拐点。如果两个环电流相距太近，强度就会叠加太多，曲线就形成更高的凸状；(2)两个共轴圆环电流，半径为a，电流强度都是I。求证：当它们相距为a时，它们轴线中间附近为均匀磁场。这种环电流称为亥姆霍兹线

6、圈。取距离分别为2a，a和0.5a，轴线上的磁感应强度是如何分布的？如果它们相距太远，强度就会叠加太少，曲线的中间部分就会下凹成“谷”，圆环所在处形成两个“峰”。曲线从谷底向两边的峰之间各有一个拐点，当它们的距离由远而近时，两个拐点就会接近。到最适当的位置时，两个拐点就会在中间重合，这时的磁场最均匀。{范例10.6}通电圆环和亥姆霍兹线圈在轴线上的磁场拐点处的二阶导数为零。设B0=μ0I/2a，则(2)两个共轴圆环电流，半径为a，电流强度都是I。求证：当它们相距为a时，它们轴线中间附近为均匀磁场。这种环电流称为亥姆霍兹线圈。取距离分

7、别为2a，a和0.5a，轴线上的磁感应强度是如何分布的？B对z求一阶导数得求二阶导数得在z=0处令d2B/dz2=0，可得a2=4L2，所以2L=a。z=0处的场强为这是亥姆霍兹线圈最均匀的磁感应强度。{范例10.6}通电圆环和亥姆霍兹线圈在轴线上的磁场当两个线圈相距比较远时，轴线中间的磁感应强度比较小，线圈所在处的磁感应强度比较大，磁场不均匀。当两个线圈相距比较近时，轴线中间的磁感应强度比较大，磁场也不均匀。当两个线圈的距离等于半径时，轴线中间的磁感应强度在相当大的范围之内相近，磁场十分均匀。