数学建模—最佳捕鱼方案

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1、最优捕鱼策略摘要本文针对如何实现可持续捕捞这一实际问题建立了相应的模型。针对问题一：根据题意知：一龄鱼和二龄鱼只受死亡率的影响，解出其与时间的常微分方程，三龄鱼和四龄鱼的生长规律则分两个阶段（一阶段是前8个月，第二阶段是最后4个月），根据第一阶段受捕捞量和死亡率的影响，第二阶段受死亡率的影响。又知捕捞量与捕捞强度系数有关，因此根据其各阶段所受的影响因素可解出其与时间的常微分方程。进而得出每年捕捞鱼量的积分表达式。最后再用数学规划的方法对总捕捞量进行优化，即可得出最大捕捞量为克。针对问题二：根据问题一解出的一龄鱼到四龄鱼与时间的关

2、系和题目给出的原始数据，利用迭代的方法表示出总捕捞量和捕捞强度系数的关系式。再利用优化的方法算出捕捞强度系数为17.0583，最高收获量为克。最后对模型进行灵敏度分析、评价，推广。关键词死亡率捕捞强度系数最大捕捞量8一、问题重述为保护人类赖以生存的自然环境，可再生资源的开发必须适度。一种合理、简化的策略是，在实现可持续收获的前提下，追求最大产量或最佳效益。本题给出如下的条件：①这种鱼分个年龄组：称一龄鱼、二龄鱼、三龄鱼、四龄鱼。各年龄组每条鱼的平均重量分别为，各年龄组鱼的自然死亡率为；且这种鱼为季节性集中产卵繁殖，平均每条龄鱼的

3、产卵量为，3龄鱼的产卵量为这个数的一半，2龄鱼和龄鱼不产卵，产卵和孵化期为每年的最后4个月；卵孵化并成活为1龄鱼，成活率为（1龄鱼条数与产卵总量之比）。②每年只允许在产卵孵化的前8个月内捕捞作业，且每年的捕捞能力（如鱼船数、下网次数等）固定不变，这时单位时间捕捞量将与各年龄组鱼群条数成正比，比例系数称为捕捞强度系数，通常用网眼的拉网，这种网只能捕捞3龄鱼和4龄鱼，其两个捕捞强度系数之比为。（渔业上称这种方式为固定努力量捕捞）现提出以下两个问题：1.数学模型分析如何实现可持续捕捞（即每年开始捕捞时渔场中各年龄组鱼群条数不变），并且

4、在此前提下得到最高的年收获量（捕捞总重量）。2.某渔业公司承包这种鱼的捕捞业务5年，合同要求5年后鱼群的生产能力不能受太大破坏。已知承包时各年龄组鱼群数量分别为：。如果仍用固定努力量的捕捞方式，该公司采用怎样的策略才能使总收获量最高。二、模型假设1．不考虑捕鱼量与鱼的死亡量之间的影响；2．自然环境是相对稳定的，即各年龄组鱼的数量不会发生突变；3．假设捕鱼量与鱼的死亡量是连续变化的，即将捕鱼量与鱼的死亡量的函数视为连续函数；4．假设3龄鱼和4龄鱼的产卵期均在九月初前期集中产卵；5．4龄鱼超过一年仍然为4龄鱼；三、符号说明：表示龄鱼

5、第年的年初（或年末）的鱼量（时表示年末。）；：表示各年龄组鱼群的死亡率：；：表示4龄鱼的捕捞强度系数，则3龄鱼的捕捞强度系数为；：产卵总量；Z：捕鱼总重量；：表示第年时刻龄鱼的数量；：表示第年的捕鱼总量；：表示第年捕捞龄鱼的数量；：表示龄鱼的数量四、问题分析8问题1：由题中给出的产卵孵化的时期为每年的最后4个月，且只允许在前8个月进行捕捞作业这一条件得出：在每年的前8个月，鱼的增长量与死亡量和捕捞量二者有关，在最后4个月则只与死亡量有关；再根据通常使用的网只能捕捞3龄鱼和4龄鱼这一条件可进一步得出：（1）1龄鱼和2龄鱼的增长量只

6、与死亡量有关；（2）3龄鱼和4龄鱼的增长量则分两个阶段：第一阶段：前8个月，与死亡量和捕捞鱼的数量二者有关；第二阶段：最后4个月，与死亡量有关。问题2：在满足5年后鱼群的生产能力不能受太在破坏的要求下，要使五年的总收获量最高。首先，根据题中已知的承包时各年龄组鱼群数量用迭代的方法表示出五年末各年龄组鱼群数量。再用同样的方法表示出每年的捕捞量。然后，将各年的捕捞量相加利用优化的方法求得总捕捞量。最后根据五年末鱼群数量和承包时鱼群数量的差，计算出需要恢复的时间。一、模型建立与求解问题1：由问题分析对1的分析可得出如下结论：（1）1龄

7、鱼和2龄鱼的增长量：；（1）解得：，（2）3龄鱼和4龄鱼的增长量分两个阶段：第一阶段：前8个月（2）解得：，第二阶段：后4个月（3）解得：，又因为1龄鱼是上一年的最后4个月由3龄鱼和4龄鱼产卵孵化得到的，所以由题中给出的相关条件可得：由假设3.中将捕鱼量视为连续函数可得出捕鱼总量为：解得：（4）本文需解决的最高的年收获量，这一问题可利用数学规划的方法求解，即将此实际问题转化为求解8的最大值问题。解得：求解过程见（附录1）问题2：利用已得到的方程在已知各个年龄组鱼的初始值的条件下可求出第j年鱼的分布。（见附录2）根据求得捕捞总量为

8、：，（求解见附录3）一、灵敏度分析由于本题中对模型结果产生影响的主要因素是鱼的死亡率和捕捞强度系数，本文在此对这两个因素的参数进行了灵敏度分析。模型对这些参数的敏感性反映了各种因素影响结果的显著程度；反之，通过对模型参数的稳定性和敏感性分析，又可以反映和检验模型