《速度和静力》PPT课件

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1、1.位置矢量的微分用下面的符号表示某个矢量的微分:---位置矢量的速度是用位置矢量描述的空间一点的线速度.---位置矢量的速度可以通过计算Q相对于坐标系{B}的微分进行描述.---速度矢量可以在任意坐标系中描述，其参考坐标系可用左上标注明:第5章:速度和静力§5.1时变位姿的符号表示速度矢量与空间某点相关，而描述此点速度的大小取决于两个坐标系：一个是进行微分运算的坐标系，另一个是描述这个速度矢量的坐标系.---微分运算的坐标系{B}，描述速度矢量的坐标系{B}:当两个上标相同时，不需要给出外层上标.---

2、微分运算的坐标系{A}，描述速度矢量的坐标系{B}:用相对于参考坐标系的旋转矩阵表示.第5章:速度和静力§5.1时变位姿的符号表示自由矢量:可能出现在空间任意位置但保持大小和方向不变的矢量.速度、力和力矩矢量是自由矢量。我们讨论的是一个坐标系原点相对于某个常见的世界参考坐标系的速度，而不考虑相对于任意坐标系中一般点的速度，对于这种情况，定义一个缩写符号:式中的点为坐标系{C}的原点，参考坐标系为{U}.用表示坐标系{C}原点的速度，是坐标系{C}的原点在坐标系{A}中表示的速度(尽管微分是相对于坐标系{U

3、}进行的).第5章:速度和静力§5.1时变位姿的符号表示例子:{U}是固定世界坐标系.{T}固连在速度为100mph的火车上.坐标系{C}固连在速度为30mph的汽车上.两车前进方向为{U}的X方向。旋转矩阵已知并且为常数.第5章:速度和静力§5.1时变位姿的符号表示2.角速度线速度描述了点的一种属性，角速度描述了刚体的一种属性。坐标系总是固连在被描述的刚体上，所以可以用角速度来描述坐标系的旋转运动.描述了坐标系{B}相对于{A}的旋转.的方向就是{B}相对于{A}的瞬时旋转轴,大小表示旋转速度.第5章:

4、速度和静力§5.1时变位姿的符号表示像任意矢量一样,角速度矢量可以在任意坐标系中描述，所以需要附加另一个左上标,例如就是坐标系{B}相对于{A}的角速度在坐标系{C}中的描述.一种情况下的简化符号:这里,为坐标系{C}相对于某个已知参考坐标系{U}的角速度.例如,是坐标系{C}的角速度在坐标系{A}中的描述(尽管这个角速度是相对于{U}的).第5章:速度和静力§5.1时变位姿的符号表示1.线速度把坐标系{B}固连在一个刚体上，要求描述相对于坐标系{A}的运动.坐标系{B}相对于{A}的位置矢量用和旋转矩阵

5、来描述.假设方位不随时间变化，则Q点相对于坐标系{A}的运动是由于或随时间的变化引起的.坐标系{A}中的Q点的线速度:适用于坐标系{B}和坐标系{A}的相对方位保持不变的情况.第5章:速度和静力§5.2刚体的线速度和角速度2.角速度考虑两坐标系重合，相对线速度为零的情况.它们原点始终保持重合.坐标系{B}相对于{A}的方位随时间变化。{B}相对于{A}的旋转速度用矢量来表示,已知是坐标系{B}中一个固定点的位置。Question:从坐标系{A}看固定在坐标系{B}中的矢量，这个矢量将如何随时间变化?这个系

6、统是否转动？第5章:速度和静力§5.2刚体的线速度和角速度假设从坐标系{B}看矢量Q是不变的:.从坐标系{A}中看点Q的速度为旋转角速度.的微分增量一定垂直于和.微分增量的大小为:矢量的大小和方向满足:第5章:速度和静力§5.2刚体的线速度和角速度如果Q相对于{B}是变化的:利用旋转矩阵消掉双上标:3.线速度和角速度同时存在的情况第5章:速度和静力§5.2刚体的线速度和角速度1.正交矩阵的导数性质对任何的正交矩阵R，有:求导，得到:定义,由此有.S是一个反对称阵（skew-symmetricmatrix）

7、.正交矩阵的微分与反对称阵之间存在如下特性:.第5章:速度和静力§5.3对角速度的进一步研究2.由于参考系旋转的点速度假定固定矢量相对于坐标系{B}是不变的.如果坐标系{B}是旋转的(的微分非零),也是变化的，即使为常数。引入的表达式:利用正交矩阵的性质:旋转矩阵通常称为角速度矩阵.第5章:速度和静力§5.3对角速度的进一步研究3.反对称阵和矢量积如果反对称阵S的各元素如下:容易证明:(P是任意矢量).定义为角速度矢量.因此，得到:这里与相关的的符号表明该角速度矢量确定了坐标系{B}相对于{A}运动.第5

8、章:速度和静力§5.3对角速度的进一步研究4.角速度矢量的物理概念对旋转矩阵直接求导:把写成两个矩阵的组合:式中，在时间间隔中,绕轴的微量旋转为第5章:速度和静力§5.3对角速度的进一步研究已知于是有:第5章:速度和静力§5.3对角速度的进一步研究最后，用除以这个矩阵，并取极限得:于是有:角速度矢量的物理意义是，在任一时刻，旋转坐标系方位的变化可以看作是绕着某个轴的旋转。这个瞬时转动轴，可作为单位矢量，与绕这个轴的旋转速度标量