几种常见的几何杂题的解题方法

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1、6中等数学几种常见的几何杂题的解题方法孙璐李宝毅(天津师范大学数学科学学院2012级研究生，300387)(天津师范大学数学科学学院，300387)中图分类号：0157．3文献标识码：A文章编号：1005—6416(2013)10—0006—06(本讲适合高中)则AB的中点D是有理点，AB的斜率是有理几何学是研究空间结构及其性质的一门数或无穷，故AB的中垂线方程为有理系数学科，有助于培养学生的空间想像能力和逻一次方程．同理，BC的中垂线方程也为有理辑推理能力，是高中数学竞赛的重要组成部系数一次方程．因此，AB中垂线与BC中垂分．几何杂题将几何问题与

2、数论、代数和组合线的交点为有理点，即圆心是有理点，不满足等领域的思想方法有机结合，可扩展学生的条件。两个有理点的例子：(0，0)和(1，0)，圆知识面，提高综合解题能力，促进学生在数学，1一、竞赛中的全面发展．本文通过几道例题述之．心为f＼÷／，√2}，满足题意．-，例1平面上至多存在多少个有理点所以，至多存在两个有理点，它们共圆，(横、纵坐标均为有理数的点)，它们共圆，但但圆心不是有理点．圆心不是有理点．例2设A、B、C是平面上不共线的三个(2008，普特南数学竞赛)格点，且△ABC的边长均为正整数．求AB的【分析】若／i、B、c是共圆的三个有理

3、点，最小值及周长的最小值．(2010，普特南数学竞赛)收稿日期：2013—08—07aq一一AN(第4届全苏数学奥林匹克(九年级))—DC—EC—BC‘提示：用反证法．比较以上三式知AJP=AQ．如图l4，假设BAC≤故△APDAAQD．45。．由ACB<90。，所以，FDA=EDA．得CBA>45O．于是，4．已知D为△ABC内的任一点．证明：BC／BAC．作边AB上的中线提示：如图13，延长ACN，则CN在△BD，与AC交于点E，此时，BDC是AEDC的外角．内．设CN与尸M交于点Q．所以，BDC>DEC．则=．同理，

4、DEC>BAC．BFC从而，BDC>BAC．图13但<，于是，AP=HP<1．5．已知锐角AABC的角平分线AD、中所以，在Rt△ACH中，BAC>60。．线BM、高CH交于一点P．证明：BAC>45。．这与假设矛盾，故BAC>45O．2013年第lO期7【分析】若AB=1，不妨设(0，0)，B(1，0)．^十8十C则IAC—BCI

5、0=Rcos(+120。)，若AB=2，不妨设A(0，0)，B(2，0)．向量的横坐标为贝4IAC—BCI<2，只可台皂IAC—BCI=0，1．c—o=Rcos(一120。)．若AC=BCc一1AC：1+)，；，于殳(c一0)一(四一o)是，两个完全平方数之差不可能为1．=R[COS(一120。)一COS(+120。)]若BC—AC=1：=》c一e=2Rsin~·sin120。=√3Rsin．fAC：2G+)，2c=k，【BC=(c一2)+，，2c=(k+1)则[】2+()‘=2k+1=4—4c．=cos+R2sin=R上式等号两边奇偶性不同，故等

6、式不成R=告∑2一告∑，立，即BC—AC不等于1．因此，AB不可能为2．其中，“∑”表示轮换对称和．若AB=3，不妨设A(0，0)，B(3，0)．则则Js日c=3S。日=3×12sm~120。C(3，4)满足题目条件．因此，AB的最小值是3．=学譬∑2．注意到，AABC的三个顶点为格点，利用解析几何的面积公式知【注】利用本题的推导过程可得推论：设正AABC的三个顶点坐标分别为2．sr，y1](^，Y^)，(B，YB)，(c，xc)．贝0Bc=lL2Y21lx；Y1j∑(一)=∑(一YB)．的绝对值为正整数．继续延展，将此题从平面推广到三维空又△AB

7、C三条边均为整数，边长大于或间，可得到文后练习题1中的结论．等于3，于是，利用海伦公式得三边长分别为例4在单位圆内给定60个点P。，P，⋯3、3、3，3、3、4，3、4、4和3、3、5，均是不可能的，P印．则在单位圆周上必存在一点，使得(面积为无理数)；3、4、5满足条件．∑XPj<80．故周长最小为l2．【分析】先证明一个引理．【注】三角形的面积有多种计算方法，本引理设AABC是单位圆的内接正三题以枚举法为核心，配合解析几何面积公式角形，点P在圆内．则和海伦公式进行讨论分析．PA+PB+PC<4．例3设正△ABC的三个顶点坐标分别证明若点P在弓形

8、BC内，延长AP，为(^，Y^)，(B，YB)，(c，Yc)．请用、日、c表示Is盼与弧BC交于点P．【分析】设△ABC是