九年级数学下册 专题突破讲练 利用二次函数设计方案试题 （新版）青岛版

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1、利用二次函数设计方案利用二次函数设计方案这类问题常常给出问题情景与解决问题的要求，让学生设计解决问题的方案，或给出多种不同方案，让学生判断它们的优劣。这类试题不仅要求学生要有扎实的数学双基知识，而且要能够把实际问题中所涉及的数学问题转化、抽象成具体的数学问题。解这类问题的关键是寻找相等关系，利用函数的图象和性质解决问题。方法归纳：从方法上分两类进行概括：（1）方案已知，要求选优；（2）先求方案，再选最优。总结：1.能够利用二次函数解决施工方案、销售方案等实际应用问题。2.能够利用二次函数进行方案设计，解决较为复杂的应用问题。例题1今年，6月12日为端午节。在端午

2、节前夕，三位同学到某超市调研一种进价为2元的粽子的销售情况。请根据小丽提供的信息，解答小华和小明提出的问题。（1）小华的问题解答：__________。（2）小明的问题解答：__________。解析：本题是以对话的形式给出的，首先应明确已知和所求，再根据题意建立二次函数关系模型，利用二次函数的最值进行解答。答案：解：（1）设实现每天800元利润的定价为x元/个，根据题意，得（x－2）（500－×10）＝800。整理得：x2－10x＋24＝0，解之得：x1＝4，x2＝6。∵物价局规定，售价不能超过进价的240%，即2×240%＝4.8（元），∴x2＝6不合题意，

3、舍去，得x＝4。答：应定价4元/个，才可获得800元的利润。（2）设每天利润为W元，定价为x元/个，得W＝（x－2）（500－×10）＝－100x2＋1000x－1600＝－100（x－5）2＋900。∵x≤5时W随x的增大而增大，且x≤4.8，∴当x＝4.8时，W最大＝－100×（4.8－5）2＋900＝896＞800。故800元不是最大利润，当定价为4.8元/个时，每天利润最大。点拨：本题主要考查利用二次函数模型解决实际问题的能力。要先根据题意列出函数关系式，再利用函数关系式求值。注意：数学应用题来源于实践并应用于实践，在当今社会市场经济的环境下，应掌握一些

4、有关商品价格和利润的知识。例题2某商场要经营一种新上市的文具，进价为20元，试营销阶段发现：当销售单价是25元时，每天的销售量为250件，销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10件。（1）写出商场销售这种文具，每天所得的销售利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式；（2）求销售单价为多少元时，该文具每天的销售利润最大；（3）商场的营销部结合上述情况，提出了A、B两种营销方案：方案A：该文具的销售单价高于进价且不超过30元；方案B：每天销售量不少于10件，且每件文具的利润至少为25元。请比较哪种方案的最大利润更高，并说明理由。解析：本题可根据总利润＝（销售

5、价－进价）×销售量来确立函数关系式，关键是第（3）题，求两种方案的最大利润时，不一定是二次函数顶点处的最值，可画出图形，结合二次函数的图象解答。答案：（1）w＝（x－20）[250－10（x－25）]＝－10x2＋700x－10000；（2）w＝－10x2＋700x－10000＝－10（x－35）2＋2250，所以，当x＝35时，w有最大值2250，即销售单价为35元时，该文具每天的销售利润最大。（3）方案A：由题意可得20＜x≤30，因为a＝－10＜0，对称轴为x＝35，所以该抛物线开口向下，在对称轴左侧，w随x的增大而增大，所以当x＝30时，w取得最大值为w

6、＝－10（30－35）2＋2250＝2000（元）。方案B：由题意可得，解得：45≤x≤49。在对称轴右侧，w随x的增大而减小，所以当x＝45时，w取得最大值为w＝－10（45－35）2＋2250＝1250（元）。因为2000＞1250，所以选择方案A。点拨：这是一类比较简单的方案设计问题，确切地讲，方案不需要设计，题目已经给出具体方案。解答这类问题时关键是对所给方案进行比较，找出合适的、合理的方案。从二次函数的应用这个角度讲，本题主要考查了利用二次函数的图象和性质求二次函数的最值，特别是非顶点处的最值。有些方案设计问题其本质就是求满足某种特殊要求的自变量的取值

7、或函数值。解答这类问题时的解题策略与一般的函数应用问题相同，需要特别注意的是自变量和函数值的特殊要求，这往往表现在自变量或函数值是整数、正整数等。例某小区有一长100m，宽80m的空地，现将其建成花园广场，设计图案如图所示，阴影区域为绿化区（四块绿化区是全等矩形），空白区域为活动区，且四周出口一样宽，宽度不小于50m，不大于60m。预计活动区每平方米造价60元，绿化区每平方米造价50元。（1）设其中一块绿化区的长边长为xm，写出工程总造价y（元）与x（m）的函数关系式（写出x的取值范围）；（2）如果小区投资46.9万元，问能否完成工程任务？若能，请写出x为整数的

8、所有工程方案；若不能，请