《弹性力学》第十一章弹性波

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1、第十一章弹性波1概述§1-1弹性体的运动微分方程§11-2无旋波与等容波§11-3横波与纵波§11-4球面波第十一章弹性波2弹性波概述当静力平衡状态下的弹性体受到荷载作用时，并不是在弹性体的所有各部分都立即引起位移、形变和应力。在作用开始时，距荷载作用处较远的部分仍保持不受干扰。在作用开始后，荷载所引起的位移、形变和应力，就以波动的形式用有限大的速度向别处传播。这种波动就称为弹性波。本章将首先给出描述弹性体运动的基本微分方程，然后介绍弹性波的几个概念，针对不同的弹性波，对运动微分方程进行简化，最后给出波在无限大弹性体中传播速度公式。3§11-1弹性体的

2、运动微分方程弹性波上述两条假设，完全等同于讨论静力问题的基本假设。因此，在静力问题中给出的物理方程和几何方程，以及把应力分量用位移分量表示的弹性方程，仍然适用于讨论动力问题的任一瞬时，所不同的仅仅在于，静力问题中的平衡微分方程必须用运动微分方程来代替。本章仍然采用如下假设：（1）弹性体为理想弹性体。（2）假定位移和形变都是微小的。4弹性波对于任取的微元体，运用达朗伯尔原理，除了考虑应力和体力以外，还须考虑弹性体由于具有加速度而产生的惯性力。每单位体积上的惯性力在空间直角坐标系的x,y,z方向的分量分别为:其中ρ为弹性体的密度。5弹性波由平衡关系，并简化

3、后得：上式称为弹性体的运动微分方程。它同几何方程和物理方程一起构成弹性力学动力问题的基本方程。6弹性波注1：几何方程7弹性波注2：物理方程8弹性波由于位移分量很难用应力及其导数来表示，所以弹性力学动力问题通常要按位移求解。将应力分量用位移分量表示的弹性方程代入运动微分方程，并令：得：9弹性波这就是按位移求解动力问题的基本微分方程，也称为拉密（Lame)方程。要求解拉密方程，显然需要边界条件。除此之外，由于位移分量还是时间变量的函数，因此求解动力问题还要给出初始条件。为求解上的简便，通常不计体力，此时弹性体的运动微分方程简化为：10弹性波§11-2无旋波

4、与等容波一、无旋波所谓无旋波是指在弹性体中，波动所产生的变形不存在旋转，即弹性体在任一点对三个垂直坐标轴的旋转量皆为零。假定弹性体的位移u,v,w可以表示成为：其中是位移的势函数。这种位移称为无旋位移。而相应于这种位移状态的弹性波就称无旋波。11弹性波[证]：在弹性体的任一点处，该点对z轴的旋转量即弹性体的任一点对三个坐标的旋转量都等于零。将代入，可得：同理[得证]12弹性波在无旋位移状态下从而同理将上三式代入不计体力的运动微分方程，并简化后得无旋波的波动方程13弹性波其中就是无旋波在无限大弹性体中的传播速度14所谓等容波是指在弹性体内，波动所产生的变

5、形中体积应变为零。即弹性体中任一部分的容积（即体积）保持不变。二、等容波弹性波假定弹性体的位移u,v,w满足体积应变为零的条件，即：这种位移称为等容位移。而相应于这种位移状态的弹性波就是等容波。15由于，故不计体力的运动微分方程，简化后得等容波的波动方程：其中就是等容波在无限大弹性体中的传播速度。弹性波16对于无旋波和等容波，我们不加证明地给出如下结论：在弹性体中，形变、应力以及质点速度，都将和位移以相同的方式与速度进行传播。弹性波17§11-3纵波与横波一、纵波[定义]弹性体的质点运动方向平行弹性波的传播方向（图示）纵波的传播形式弹性波18将x轴取为

6、波的传播方向，则弹性体内任取一点的位移分量都有：从而而弹性波19代入不计体力的运动微分方程，可见其第二、第三式成为恒等式，而第一式简化为：其中为纵波在弹性体中的传播速度。显然纵波的传播速度与无旋波相同。事实上，纵波就是一种无旋波。弹性波20纵波波动方程的通解是：该通解的物理意义：以其第一项为例，函数在某一个固定时刻将是x的函数，可以用图(a)中的曲线abc表示（假设是这种形状），在时间之后，函数变为：如果令，则函数可写为，其形式同原函数完全类同，只是横坐标发生平移见图。因此表示以速度向x轴正向传播的波。弹性波21同理，表示以同样速度向x轴负向传播的波。

7、整个通解表示朝相反两个方向传播的两个波（如图b），其传播速度为波动方程的系数。cabx(a)(b)弹性波22二、横波[定义]弹性体的质点运动方向垂直于弹性波的传播方向。横波的传播形式弹性波23仍然将x轴放在波的传播方向，y轴为质点位移方向，则弹性体内任取一点的位移分量都有从而而代入不计体力的运动微分方程，可见其第一、第三式成为恒等式，第二式简化为：为横波在弹性体中的传播速度。由于横波的体积应变弹性波24横波的波动方程的通解为：，故横波为等容波。显然，整个通解表示朝相反两个方向传播的两个波，它的位移沿着y方向，而传播方向是沿着x方向，传播速度等于常量。弹

8、性波25§11-4球面波如果弹性体具有圆球形的孔洞或具有圆球形的外表面，则在圆球形孔洞或圆球形