2015年全国高中数学联合竞赛精彩试题与解答(B卷)

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1、实用文档2015年全国高中数学联赛(B卷)(一试)一、填空题(每个小题8分,满分64分1:已知函数,其中为常数,如果,则的取值范围是2:已知为偶函数,且,则的值为3:某房间的室温(单位:摄氏度)与时间(单位:小时)的函数关系为:,其中为正实数,如果该房间的最大温差为10摄氏度,则的最大值是4:设正四棱柱的底面是单位正方形,如果二面角的大小为,则5:已知数列为等差数列,首项与公差均为正数,且依次成等比数列,则使得的最小正整数的值是6:设为实数,在平面直角坐标系中有两个点集和,若是单元集,则的值为7:设为椭圆

2、上的动点,点,则的最大值为8:正2015边形内接于单位圆,任取它的两个不同顶点,则的概率为二、解答题9:(本题满分16分)数列满足对任意正整数,均有(1)求的通项公式;(2)如果存在实数使得对所有正整数都成立,求的取值范围文案大全实用文档10:(本题满分20分)设为四个有理数,使得:,求的值11:(本题满分20分)已知椭圆的右焦点为,存在经过点的一条直线交椭圆于两点,使得,求该椭圆的离心率的取值范围文案大全实用文档(加试)1:(本题满分40分)证明:对任意三个不全相等的非负实数都有:,并确定等号成立的充要

3、条件2:(本题满分40分)如图,在等腰中,,设为其内心,设为内的一个点,满足四点共圆,过点作的平行线,与的延长线交于求证:文案大全实用文档3:(本题满分50分)证明:存在无穷多个正整数组满足:4:(本题满分50分)给定正整数,设是中任取个互不相同的数构成的一个排列,如果存在使得为奇数,或者存在整数,使得,则称是一个“好排列”,试确定所有好排列的个数。文案大全实用文档2015年全国高中数学联赛(B卷)解答(一试)一、填空题(每个小题8分,满分64分1.已知函数,其中为常数,如果,则的取值范围是.答案:(-2

4、,+∞).解:,所以,解得:.2.已知为偶函数,且,则的值为.答案:2015.解:由己知得,即=2015.3.某房间的室温(单位:摄氏度)与时间(单位:小时)的函数关系为:,其中为正实数,如果该房间的最大温差为10摄氏度,则的最大值是.答案:.解:由辅助角公式:,其中满足条件,则函数的值域是,室内最大温差为,得.故,等号成立当且仅当.4.设正四棱柱的底面是单位正方形,如果二面角的大小为,则.答案:.解:取BD的中点O,连接OA,OA1,OC1.则∠A1OC1是二面角A1-BD-C1的平面角,因此∠A1OC

5、1=,又△OA1C1是等边三角形.故A1O=A1C1=,所以.5.已知数列为等差数列,首项与公差均为正数,且依次成等比数列,则使得的最小正整数的值是.答案:34.解:设数列的公差为,则.因为依次成等比数列,所以,即.化简上式得到:.又,所以.由.解得.6.设为实数,在平面直角坐标系中有两个点集和,若是单元集,则的值为.文案大全实用文档答案:.解:点集A是圆周,点集B是恒过点P(-1,3)的直线及下方(包括边界).作出这两个点集知,当A自B是单元集时,直线l是过点P的圆的一条切线.故圆的圆心M(1,l)到直

6、线l的距离等于圆的半径,故.结合图像,应取较小根.7.设为椭圆上的动点,点,则的最大值为.答案:5.解:取F(0,l),则F,B分别是椭圆的上、下焦点,由椭圆定义知,

7、PF

8、+

9、PB

10、=4.因此,

11、PA

12、+

13、PB

14、=4-

15、PF

16、+

17、PA

18、≤4+

19、FA

20、=4+l=5.当P在AF延长线与椭圆的交点时,

21、PA

22、+

23、PB

24、最大值为5.8.正2015边形内接于单位圆,任取它的两个不同顶点,则的概率为.答案.解:因为,所以.故的充分必要条件是,即向量的夹角不超过.对任意给定的向量,满足条件的向量可的取法共有:种,故的

25、概率是:.一、解答题9.(本题满分16分)数列满足对任意正整数,均有(1)求的通项公式;(2)如果存在实数使得对所有正整数都成立,求的取值范围.解:(l)在中令可以得到的递推公式:.因此的通项公式为:.8分(事实上,对这个数列,,并且.文案大全实用文档所以是数列的通项公式.(2)注意到:,所以.故,并且,因此的取值范围是.16分10.(本题满分20分)设为四个有理数,使得:,求的值.解:由条件可知,是6个互不相同的数,且其中没有两个为相反数,由此知,的绝对值互不相等,不妨设,则中最小的与次小的两个数分别是

26、及,最大与次大的两个数分别是及,从而必须有10分于是.故,15分结合,只可能.由此易知,或者.检验知这两组解均满足问题的条件.故.20分11.(本题满分20分)已知椭圆的右焦点为,存在经过点的一条直线交椭圆于两点,使得,求该椭圆的离心率的取值范围.解:设椭圆的右焦点F的坐标为(,0).显然l不是水平直线,设直线l的方程为,点A、B的坐标分别为,.将直线l的方程与椭圆方程联立,消去得.由韦达定理文案大全实用文档.5分因为等价于,

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