2016年全国初中数学联赛试题

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1、2016年全国初中数学联合竞赛试题第一试一、选择题(本题满分42分，每小题7分)11.用x表示不超过x的最大整数，把xx−称为x的小数部分．已知t=，a是23−11t的小数部分，b是−t的小数部分，则−=()2ba13A．B．C．1D．3222.三种图书的单价分别为10元、15元和20元，某学校计划恰好用500元购买上述图书30本，那么不同的购书方案有()A．9种B．10种C．11种D．12种3.(A)．如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的立方差，则称这个正整数为“和谐3333数”．如：21=−−(1)，26=

2、3−1，2和26均为“和谐数”．那么，不超过2016的正整数中，所有的“和谐数”之和为()A．6858B．6860C．9260D．926223.(B)．已知二次函数y=ax+bx+1(a0)的图象的顶点在第二象限，且过点(1,0)．当ab−为整数时，ab=()13A．0B．C．−D．−2444.已知O的半径OD垂直于弦AB，交AB于点C，连接AO并延长交O于点E，若AB==82，CD，则△BCE的面积为()A．12B．15C．16D．1805.如图，在四边形ABCD中，BAC=BDC=90，AB==AC5，CD=1

3、，对角线的交点为M，则DM=()35A．B．2321C．D．226.设实数xyz，，满足x++=yz1,则M=xy+23yz+xz的最大值为()123A．B．C．D．1234二、填空题(本题满分28分，每小题7分)(本题共有4个小题，要求直接将答案写在横线上．)37.【7(A)、8(B)】已知△ABC的顶点A、C在反比例函数y=(x0)的图象上，xACB=90，ABC=30，AB⊥x轴，点B在点A的上方，且AB=6，则点C的坐标为．(B)．已知△ABC的最大边BC上的高线AD和中线AM恰好把BAC三等分，AD

4、=3，则AM=．8.(A)．在四边形ABCD中，BCAD∥，CA平分BCD，O为对角线的交点，CD=AO，BC=DO，则=ABC．9.【9(A)、10(B)】有位学生忘记写两个三位数间的乘号，得到一个六位数，这个六位数恰好为原来两个三位数的乘积的3倍，这个六位数是．(B)．若质数p、q满足：3q−p−=40，pq+111，则pq的最大值为．10.(A)．将5个1、5个2、5个3、5个4、5个5共25个数填入一个5行5列的表格内(每格填入一个数)，使得同一列中任何两数之差的绝对值不超过2．考虑每列中各数之和，设这5个

5、和的最小值为M，则M的最大值为．第二试一、(本题满分20分)22已知ab，为正整数，求M=3a−ab−2b−4能取到的最小正整数值．二、(本题满分25分)(A)．如图，点C在以AB为直径的O上，CD⊥AB于点D，点E在BD上，AE=AC，四边形DEFM是正方形，AM的延长线与O交于点N．证明:FN=DE．222333(B)．已知：abc++=5，abc++=15，abc++=47222222求(a+abb+)(b+bcc+)(c+ca+a)的值．三、(本题满分25分)(A)．已知正实数xyz，，满足：xy+yz+zx1

6、，且222222(x−1)(y−1)(y−1)(z−1)(z−1)(x−1)++=4．xyyzzx111(1)求++的值．xyyzzx(2)证明:9(x+yy)(+zz)(+x)8xyzxy(+yz+zx)．(B)．如图，在等腰△ABC中，AB==AC5，D为BC边上异于中点的点，点C关于直线AD的对称点为点E，EB的延长线与AD的延长线交于点F，求ADAF的值．2016年全国初中数学联合竞赛试题及详解第一试(3月20日上午8:30-9:30)一、选择题(本题满分42分，每小题7分)(本题共有6个小题，每题均给出了代

7、号为A，B，C，D的四个答案，其中有且仅有一个是正确的．将你所选择的答案的代号填在题后的括号内．每小题选对得7分；不选、选错或选出的代号字母超过一个(不论是否写在括号内)，一律得0分．)11．用x表示不超过x的最大整数，把xx−称为x的小数部分．已知t=，a是t23−11的小数部分，b是−t的小数部分，则−=()2ba13A.B.C.1D.322【答案】A．1【解析】t==+23,132,+3234,即3t4,23−=−=at331.−又−=−−t23,2−−3−1,−−−423−3,1

8、1112++3311=−−−bt(4)=−23,−=−=−=,故选A．2ba2(2−−3)312222．三种图书的单价分别为10元、15元和20元，某学校计划恰好用500元购买上述图书30本，那么不同的购书方案有()A.9种B.10种C.11种D.12种【答案】C．x++=yz30【解析】设购买三种图书的数量分