函数的表示法(附答案)

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1、函数的表示法[学习目标]　1.掌握函数的三种表示方法：解析法、图象法、列表法.2.会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数.知识点　函数的三种表示方法表示法定义解析法用数学表达式表示两个变量之间的对应关系图象法用图象表示两个变量之间的对应关系列表法列出表格来表示两个变量之间的对应关系思考　(1)函数的三种表示方法各有什么优、缺点？(2)任何一个函数都可以用解析法、列表法、图象法三种形式表示吗？答　(1)三种表示方法的优、缺点比较：优点缺点解析法①简明、全面地概括了变量间的关系；②可以通过解析式求出任意一个自变量所对应的函数值不够形象、直观

2、列表法不通过计算就可以直接看出与自变量的值相对应的函数值一般只能表示部分自变量的函数值图象法直观、形象地表示出函数的变化情况，有利于通过图形研究函数的某些性质只能近似地求出自变量所对应的函数值，有时误差较大(2)不一定.并不是所有的函数都可以用解析式表示，不仅如此，图象法也不适用于所有函数，如D(x)＝列表法虽在理论上适用于所有函数，但对于自变量有无数个取值的情况，列表法只能表示函数的一个概况或片段.第13页题型一　作函数的图象例1　作出下列函数的图象：(1)y＝x＋1(x∈Z)；(2)y＝x2－2x(x∈[0,3)).解　(1)这个函

3、数的图象由一些点组成，这些点都在直线y＝x＋1上，如图(1)所示.(2)因为0≤x＜3，所以这个函数的图象是抛物线y＝x2－2x介于0≤x＜3之间的一部分，如图(2)所示.跟踪训练1　画出下列函数的图象：(1)y＝x＋1(x≤0)；(2)y＝x2－2x(x＞1，或x＜－1).解　(1)y＝x＋1(x≤0)表示一条射线，图象如图(1).(2)y＝x2－2x＝(x－1)2－1(x＞1，或x＜－1)是抛物线y＝x2－x去掉－1≤x≤1之间的部分后剩余曲线.如图(2).题型二　列表法表示函数例2　已知函数f(x)，g(x)分别由下表给出x123

4、f(x)131x123g(x)321则f(g(1))的值为________；满足f(g(x))>g(f(x))的x的值是________.答案　1　2第13页解析　∵g(1)＝3，∴f(g(1))＝f(3)＝1.f(g(x))与g(f(x))与x相对应的值如下表所示.x123f(g(x))131g(f(x))313∴f(g(x))>g(f(x))的解为x＝2.跟踪训练2　已知函数f(x)，g(x)分别由下表给出x123f(x)211x123g(x)321(1)f[g(1)]＝__________；(2)若g[f(x)]＝2，则x＝___

5、_______.答案　(1)1　(2)1解析　(1)由表知g(1)＝3，∴f[g(1)]＝f(3)＝1；(2)由表知g(2)＝2，又g[f(x)]＝2，得f(x)＝2，再由表知x＝1.题型三　待定系数法求函数解析式例3　(1)已知f(x)是一次函数，且f[f(x)]＝4x－1，求f(x)；(2)已知f(x)是二次函数，且满足f(0)＝1，f(x＋1)－f(x)＝2x，求f(x).解　(1)∵f(x)是一次函数，∴设f(x)＝ax＋b(a≠0)，则f[f(x)]＝f(ax＋b)＝a(ax＋b)＋b＝a2x＋ab＋b.又∵f[f(x)]＝4

6、x－1，∴a2x＋ab＋b＝4x－1，即解得或第13页∴f(x)＝2x－或f(x)＝－2x＋1.(2)∵f(x)是二次函数，∴设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，由f(0)＝1，得c＝1，由f(x＋1)－f(x)＝2x，得a(x＋1)2＋b(x＋1)＋1－ax2－bx－1＝2x.左边展开整理得2ax＋(a＋b)＝2x，由恒等式原理知解得∴f(x)＝x2－x＋1.跟踪训练3　已知二次函数f(x)满足f(0)＝1，f(1)＝2，f(2)＝5，求该二次函数的解析式.解　设二次函数的解析式为f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，由题意得解得

7、故f(x)＝x2＋1.题型四　换元法(或配凑法)求函数解析式例4　求下列函数的解析式：(1)已知f＝＋，求f(x)；(2)已知f(＋1)＝x＋2，求f(x).解　(1)方法一　(换元法)令t＝＝＋1，则t≠1.把x＝代入f＝＋，得f(t)＝＋＝(t－1)2＋1＋(t－1)＝t2－t＋1.∴所求函数的解析式为f(x)＝x2－x＋1，x∈(－∞，1)∪(1，＋∞).方法二　(配凑法)∵f＝＋＝2－＝2－＋1，∴f(x)＝x2－x＋1.第13页又∵＝＋1≠1，∴所求函数的解析式为f(x)＝x2－x＋1(x≠1).(2)方法一　(换元法)令＋1

8、＝t(t≥1)，则x＝(t－1)2，∴f(t)＝(t－1)2＋2＝t2－1.∴f(x)＝x2－1(x≥1).方法二　(配凑法)∵x＋2＝(＋1)2－1，∴f(＋1)＝(＋1)2－1.又∵＋1≥1，∴f(x)