高等数学上25函数的微分

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1、§2.5函数的微分微分的概念与定义导数与微分的关系微分的几何意义微分形式的不变性微分在近似计算中的应用导数反映了函数因变量相对于自变量变化的快慢程度，即：函数的变化率。微分指明,当自变量有微小变化时，函数大体上改变了多少。MNT）MNT）P一、问题的提出实例:正方形金属薄片受热后面积的改变量.再例如,既容易计算又是较好的近似值问题:一般函数y=f(x)是否也有y=f(x+x)－f(x)=Ax+o(x)?A是什么?如何求?二、微分的定义定义1.(微分的实质)P1122.3.y、x、dy、f

2、(x)、A、o(x)之间的关系:三、微分的几何意义MNT）PP114例:已知曲线y=f(x)在x=1处的切线方程为2x-y+1=0,求x=1处的微分.dy=f’(x)x=2x习题P123-2四、可微的条件——可微与可导的关系P114定理证(1)必要性(2)充分性例1解定义4.定义5.五、微分的求法求法:计算函数的导数,乘以自变量的微分.1.基本初等函数的微分公式2.函数和、差、积、商的微分法则例2解例3解六、微分形式的不变性结论：微分形式的不变性例4解例3解例5解在下列等式左端的括号中填入适当

3、的函数,使等式成立.于是xdy-ydx=xdx+ydy,.例6设由确定y为x的函数,求dy.解应用微分的运算法则及一阶微分形式的不变性,有1、计算函数增量的近似值例1解七、微分在近似计算中的应用精确值=?,见3章1节2、计算函数的近似值例7解精确值=?,见3章3节常用近似公式证明例8解某量的精确值为A,其近似值为a,称为a的绝对误差称为a的相对误差若称为测量A的绝对误差限称为测量A的相对误差限3、误差估计误差传递公式:已知测量误差限为按公式计算y值时的误差故y的绝对误差限约为相对误差限约为若直接测量

4、某量得x,例7.设测得圆钢截面的直径测量D的绝对误差限欲利用公式圆钢截面积,解:计算A的绝对误差限约为A的相对误差限约为试估计面积的误差.计算(mm)小结微分学所要解决的两类问题:函数的变化率问题函数的增量问题微分的概念导数的概念求导数与微分的方法,叫做微分法.研究微分法与导数理论及其应用的科学,叫做微分学.导数与微分的联系:★★导数与微分的区别:★思考B近似计算的基本公式作业:P1233(4),(8),(10);6；7(1)；思考解答