高等数学 C3 导数与微分

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1、高等数学苏州大学出版社2013C1.函数与向量C2.极限与连续C4.中值定理与导数的应用C5.定积分与不定积分C3.导数与微分主要内容C8.微分方程C6.二重积分与曲线积分C7.无穷级数C9.概率论基础第三章导数与微分第三节高阶导数、高阶偏导数第一节导数、偏导数及其运算第二节微分与全微分第四节参数方程与隐函数方程微分法习题课§3.1导数、偏导数及其运算一、导数的定义二、函数的求导运算法则三、偏导数的概念与计算一、导数的定义引例1.变速直线运动的速度设描述质点运动位置的函数为则到的平均速度为而在时刻的瞬时速度为自由落体运动引例2.曲线的

2、切线斜率曲线在M点处的切线割线MN的极限位置MT(当时)切线MT的斜率变化率问题引出导数的定义定义1.设函数在点存在,并称此极限为记作:即则称函数若的某邻域内有定义,在点处可导,在点的导数.运动质点的位置函数在时刻的瞬时速度曲线在M点处的切线斜率说明:在经济学中,边际成本率,边际劳动生产率和边际税率等从数学角度看就是导数.若上述极限不存在,在点不可导.若也称在若函数在开区间I内每点都可导,此时导数值构成的新函数称为导函数.记作:注意:就说函数就称函数在I内可导.的导数为无穷大.例1.用定义推导下列求导公式:(C为常数)解:即解:说明：

3、对一般幂函数(为常数)（以后将证明）例如，现在先应用一般公式可以得到解:特殊地,解:令则即类似可证得解:例2.证明函数在x=0不可导.证:不存在,例3.设存在,求极限解:原式1.导数的几何意义曲线在点的切线斜率为切线方程:法线方程:思考:曲线哪一点有垂直切线?哪一点处的切线与直线平行?写出其切线方程.提示:在原点(0,0)有垂直切线在点(1,1),(–1,–1)处,证:设在点x处可导,存在,因此必有其中故所以函数在点x连续.注意:函数在点x连续未必可导.反例:在x=0处连续,但不可导.即2.一元函数的可导性与连续性的关系定理1.在点的

4、某个右邻域内3.单侧导数若极限则称此极限值为在处的右导数,记作即(左)(左)例如,在x=0处有定义2.设函数有定义,存在,定理2.函数在点且存在简写为在点处右导数存在定理3.函数在点必右连续.(左)(左)若函数与都存在,则称显然:在闭区间[a,b]上可导在开区间内可导,在闭区间上可导.可导的充分必要条件是且二、函数的求导运算法则1.函数的四则运算求导法则的和、差、积、商(除分母为0的点外)都在点x可导,且下面省略证明,给出相应的推论和例题.和差法则可推广到任意有限项的情形.(C为常数)积法则可有推论:(C为常数)商法则可有推论:例4.

5、求解下列导数问题:解:解:求(3).求证证:类似可证:2、反函数的求导法则y的某邻域内单调可导,证:在x处给增量由反函数的单调性知且由反函数的连续性知因此例5.求反三角函数及指数函数的导数.解:1)设则类似可求得利用,则在点x可导,3、复合函数求导法则在点可导复合函数且在点x可导,例如,关键:搞清复合函数结构,由外向内逐层求导.推广：此法则可推广到多个中间变量的情形.例6.求下列导数:解:(1)(2)(3).设求解:(4).设解:两边取对数利用复合函数求导法则,两边对x求导解:即指数求导法两边求对数对于幂指函数对数求导法两边求导可以使

6、用下列两种方法:即其实对数求导法适合更一般的情形,如类似前例(5)复杂积商函数情形.初等函数的求导问题由常数和基本初等函数的导数公式(P76),有限次四则运算的求导法则与复合函数求导法则可得结论:且导数仍为初等函数初等函数在定义区间内可导,三、偏导数定义及其计算法在点存在,的偏导数，记为的某邻域内则称此极限为函数极限设函数注意:同样可定义对y的偏导数若函数z=f(x,y)在域D内每一点(x,y)处对x则该偏导数称为偏导函数,也简称为偏导数,记为或y偏导数存在,例如,三元函数u=f(x,y,z)在点(x,y,z)处对x的偏导数的概念可以

7、推广到二元以上的函数.偏导数定义为(请自己写出)二元函数偏导数的几何意义:是曲线在点M0处的切线对x轴的斜率.在点M0处的切线斜率.是曲线对y轴的多元函数在某点各偏导数都存在,显然例如,注意：但在该点不一定连续.在上节已证f(x,y)在点(0,0)并不连续!例7.求解法1:解法2:在点(1,2)处的偏导数.例8.设证:例9.求的偏导数.解:求证偏导数记号是一个例10.已知理想气体的状态方程求证:证:说明:(R为常数),不能看作分子与分母的商!此例表明,整体记号,§3.2微分与全微分一、微分的概念与计算二、全微分的概念与计算一、微分的概

8、念与计算:引例:一块正方形金属薄片受温度变化的影响,问此薄片面积改变了多少?设薄片边长为x,面积为A,则面积的增量为关于△x的线性主部高阶无穷小时为当x在取得增量时,变到边长由其定义1:若函数在点的增量可表示为(常数A不