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《高数10-2(I)直角坐标系下二重积分的计算法》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、§10.2二重积分的计算法（一）-----利用直角坐标系计算二重积分其中函数、在区间上连续.(1)［X－型域］预备知识:X型,Y型区域2.公式推导三、利用对称性奇偶性二、交换二次积分次序一、直角坐标系下计算1.X型,Y型区域3.几点说明（一）直角坐标系下计算【X—型区域的特点】穿过区域且平行于y轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.(2)［Y－型域］2.公式推导三、利用对称性奇偶性二、交换二次积分次序一、直角坐标系下计算1.X型,Y型区域3.几点说明(3)［既非X－型域也非Y－型域］如图在分割后的三个区域上分别都是X－型域(D1也是Y—型域)则必须分割.由二重积分
2、积分区域的可加性得2.公式推导三、利用对称性奇偶性二、交换二次积分次序一、直角坐标系下计算1.X型,Y型区域3.几点说明2.公式推导表示曲顶柱体的体积.a.回顾二重积分几何意义三、利用对称性奇偶性二、交换二次积分次序一、直角坐标系下计算b.回顾一元函数定积分的应用平行截面面积已知,立体体积求法:1.X型,Y型区域3.几点说明化二重为二次公式(1)aboxyDx2.公式推导三、利用对称性奇偶性二、交换二次积分次序一、直角坐标系下计算1.X型,Y型区域3.几点说明公式1公式22.公式推导三、利用对称性奇偶性二、交换二次积分次序一、直角坐标系下计算1.X型,Y型区域3.
3、几点说明公式(1)二重积分的计算步骤可归结为①画出积分域的图形，标出边界线方程；②根据积分域特征及被积函数，确定积分次序.(写出不等式)③根据上述结果，化二重积分为二次积分并计算。3.几点说明2.公式推导三、利用对称性奇偶性二、交换二次积分次序一、直角坐标系下计算1.X型,Y型区域3.几点说明(2)①使用公式1必须是X－型域，公式2必须是②若积分区域既是X–型区域又是Y–型区域,则为计算方便,可选择积分次序。Y－型域.③若积分域复杂,可分成若干X型Y型区域【例1】【解Ⅰ】看作X－型域12oxyy=xy=1Dx三、利用对称性奇偶性二、交换二次积分次序一、直角坐标系下
4、计算D既是X—型域又是—Y型域【解Ⅱ】看作Y－型域12oxyx=yx=2Dy12三、利用对称性奇偶性二、交换二次积分次序一、直角坐标系下计算两种积分次序的计算难度相当【例2】【解】D既是X—型域又是—Y型域［法1］－111xoy=xDxy三、利用对称性奇偶性二、交换二次积分次序一、直角坐标系下计算［法2］注意到先对x的积分较繁，故应用法1较方便－111yoy=xD－1xy注意两种次序的积分计算难度不同！三、利用对称性奇偶性二、交换二次积分次序一、直角坐标系下计算【例2】【例3】【分析】D本身是Y—型域先求交点三、利用对称性奇偶性二、交换二次积分次序一、直角坐标系下
5、计算［法1］［法2］视为X—型域计算较繁三、利用对称性奇偶性二、交换二次积分次序一、直角坐标系下计算【例3】两种次序积分难度不同！【小结】以上例子说明，在化二重积分为二次积分时，为简便见需恰当选择积分次序；既要考虑积分区域D的形状，又要考虑被积函数的特性(对x易积就先积x后积y,当y型区域)三、利用对称性奇偶性二、交换二次积分次序一、直角坐标系下计算【解】三、利用对称性奇偶性二、交换二次积分次序一、直角坐标系下计算D既是X—型域又是Y—型域把D当作Y—型域，先x后y积分【练习2】【解】据二重积分的性质4（几何意义）交点三、利用对称性奇偶性二、交换二次积分次序一、直
6、角坐标系下计算【练习3】计算其中D是由直线y=x及抛物线y2=x所围成【解】三、利用对称性奇偶性二、交换二次积分次序一、直角坐标系下计算先y积不出，故先x后y，即Y型域【补例1】【解】当被积函数中有绝对值时，要考虑积分域中不同范围脱去绝对值符号。［分析］三、利用对称性奇偶性二、交换二次积分次序一、直角坐标系下计算【例4】求两个底圆半径都等于R的直交【解】设两个直圆柱方程为利用对称性,考虑第一卦限部分,其曲顶柱体的顶为圆柱面所围成的立体的体积V.三、利用对称性奇偶性二、交换二次积分次序一、直角坐标系下计算补例2交换二次积分的积分次序.解：题设积分限:可改写为:所以三
7、、利用对称性奇偶性二、交换二次积分次序一、直角坐标系下计算交换积分次序：若积分区域既是X–型区域又是Y–型区域,目的为方便计算，或题目要求。补例3交换二次积分的积分次序.解：积分限:可改写为所以原式三、利用对称性奇偶性二、交换二次积分次序一、直角坐标系下计算【练习4】交换下列积分顺序【解】积分域由两部分组成:视为Y–型区域,则三、利用对称性奇偶性二、交换二次积分次序一、直角坐标系下计算三、利用对称性奇偶性二、交换二次积分次序一、直角坐标系下计算设D位于x轴上方的部分为D11、积分区域D关于x轴对称,则则2、积分区域D关于y轴对称,被积函数关于y为偶函数函数关于y为
8、奇函数，设
