高等数学上(修订版)黄立宏(复旦出版社) 习题三答案详解

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1、高等数学上（修订版）黄立宏（复旦出版社）习题三答案详解1．确定下列函数的单调区间：(1)；解：所给函数在定义域内连续、可导，且可得函数的两个驻点：,在内，分别取+，–，+号，故知函数在内单调增加，在内单调减少.(2)；解:函数有一个间断点在定义域外，在定义域内处处可导，且，则函数有驻点，在部分区间内，；在内>0，故知函数在内单调增加，而在内单调减少.(3)；解:函数定义域为，,故函数在上单调增加.(4)；解:函数定义域为,，则函数有驻点:,在内，，函数单调减少；在内，，函数单调增加.(5)；解:函数定义域为，函数的驻点为,在上，函数单调增加；在上90，函数单调

2、减少.(6)；解:函数定义域为,1)当时，，则；.2)当时，，则.综上所述，函数单调增加区间为，函数单调减少区间为.(7).解:函数定义域为.函数驻点为,在内，,函数单调增加，在上，,函数单调减少，在上，,函数单调增加，在内，,函数单调增加.90故函数的单调区间为:，，.2.证明下列不等式:(1)当时，证明:令则,当时，为严格单调增加的函数，故,即(2)当时，证明:令,则,,则为严格单调减少的函数,故,即为严格单调减少的函数,从而,即3.试证:方程只有一个实根.证明:设，则为严格单调减少的函数，因此至多只有一个实根.而，即为的一个实根，故只有一个实根，也就是只

3、有一个实根.4.求下列函数的极值:(1)；解:,令，得驻点.又因，故为极小值点，且极小值为.(2)；解:,令，得驻点,,,故极大值为，极小值为.90(3)；解:,令，得驻点.,,故极大值为，极小值为.(4)；解:，令，得驻点.,故为极大值.(5)；解:，令，得驻点.故为极大值，为极小值.(6)；解:,令，得驻点且在定义域内有一不可导点，当时，;当时，,故为极大值点，且极大值为.因为函数定义域为，故不是极值点.(7)；解:,令，得驻点.当时，；当，,故极大值为.90(8)；解:,,令，得驻点.,故极大值为，极小值为.(9)；解:,令，得驻点.，，故为极大值点，其

4、对应的极大值为;为极小值点，对应的极小值为.(10)；解:,令，得驻点.当时，，当时，,故极大值为.(11)；解:,令，得驻点.90,故极小值为.(12)；解:，无驻点.y的定义域为，且y在x=1处不可导，当x>1时，当x<1时，，故有极大值为.(13)；解:.无驻点.y在处不可导，但恒小于0，故y无极值.(14).解:,y为严格单调增加函数，无极值点.5.试证明：如果函数满足条件，那么这函数没有极值.证明：，令，得方程，由于，那么无实数根，不满足必要条件，从而y无极值.6.试问a为何值时，函数在处取得极值？它是极大值还是极小值？并求此极值.解：f(x)为可导

5、函数，故在处取得极值，必有，得a=2.又，所以是极大值点，极大值为.7.求下列函数的最大值、最小值：；解：y的定义域为，，得唯一驻点x=－390且当时，，y单调递减；当时，，y单调递增,因此x=－3为y的最小值点，最小值为f(－3)=27.又，故f(x)无最大值.；解：，在上得唯一驻点，又,故函数在[－5，1]上的最大值为，最小值为..解：函数在(－1，3)中仅有两个驻点x=0及x=2，而y(－1)=－5，y(0)=2，y(2)=－14，y(3)=11,故在[－1，3]上，函数的最大值是11，最小值为－14.8.设a为非零常数，b为正常数，求y=ax2+bx在

6、以0和为端点的闭区间上的最大值和最小值.解：得不可能属于以0和为端点的闭区间上,而,故当a>0时，函数的最大值为，最小值为;当a<0时，函数的最大值为，最小值为.9.求数列的最大的项.解：令,90令得x=1000.因为在(0，1000)上，在上,所以x=1000为函数y的极大值点，也是最大值点，.故数列的最大项为.10.已知a>0，试证：的最大值为.证明：当x<0时，;当0a时，,又，且.而的最大值只可能在驻点，分界点，及无穷远点处取得故.11.在半径为r的球中内接一正圆柱体，使其体积为最大，求此圆柱体的高.解：设圆柱体

7、的高为h,则圆柱体底圆半径为，90令,得即圆柱体的高为时，其体积为最大.12.某铁路隧道的截面拟建成矩形加半圆形的形状(如12题图所示)，设截面积为am2，问底宽x为多少时，才能使所用建造材料最省?解：由题设知得截面的周长令得唯一驻点，即为最小值点.即当时，建造材料最省.13.甲、乙两用户共用一台变压器(如13题图所示)，问变压器设在输电干线AB的何处时，所需电线最短？解：所需电线为在0

8、无盖方盒，问截去的小正方形边长为多大时