10利用Matlab编程进行主成分分析

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1、《计量地理学》（徐建华，高等教育出版社，2005）配套实习指导§10.利用Matlab编程实现主成分分析1.概述Matlab语言是当今国际上科学界(尤其是自动控制领域)最具影响力、也是最有活力的软件。它起源于矩阵运算，并已经发展成一种高度集成的计算机语言。它提供了强大的科学运算、灵活的程序设计流程、高质量的图形可视化与界面设计、与其他程序和语言的便捷接口的功能。Matlab语言在各国高校与研究单位起着重大的作用。主成分分析是把原来多个变量划为少数几个综合指标的一种统计分析方法，从数学角度来看，这是一种降维处理技术。1.1主成分分析计算步骤①计算相关系数矩阵（1）在（3

2、.5.3）式中，rij（i，j=1，2，…，p）为原变量的xi与xj之间的相关系数，其计算公式为（2）因为R是实对称矩阵（即rij=rji），所以只需计算上三角元素或下三角元素即可。68《计量地理学》（徐建华，高等教育出版社，2005）配套实习指导②计算特征值与特征向量首先解特征方程，通常用雅可比法（Jacobi）求出特征值，并使其按大小顺序排列，即；然后分别求出对应于特征值的特征向量。这里要求=1，即，其中表示向量的第j个分量。③计算主成分贡献率及累计贡献率主成分的贡献率为累计贡献率为一般取累计贡献率达85—95%的特征值所对应的第一、第二，…，第m（m≤p）个主成

3、分。④计算主成分载荷其计算公式为（3）68《计量地理学》（徐建华，高等教育出版社，2005）配套实习指导得到各主成分的载荷以后，还可以按照（3.5.2）式进一步计算，得到各主成分的得分（4）2.程序结构及函数作用在软件Matlab中实现主成分分析可以采取两种方式实现：一是通过编程来实现；二是直接调用Matlab种自带程序实现。下面主要主要介绍利用Matlab的矩阵计算功能编程实现主成分分析。2.1程序结构Cwprint.m主函数子函数Cwfac.mCwscore.mCwstd.m2.2函数作用Cwstd.m——用总和标准化法标准化矩阵Cwfac.m——计算相关系数矩阵

4、；计算特征值和特征向量；对主成分进行排序；计算各特征值贡献率；挑选主成分（累计贡献率大于85%），输出主成分个数；计算主成分载荷68《计量地理学》（徐建华，高等教育出版社，2005）配套实习指导Cwscore.m——计算各主成分得分、综合得分并排序Cwprint.m——读入数据文件；调用以上三个函数并输出结果3.源程序3.1cwstd.m%cwstd.m,用总和标准化法标准化矩阵functionstd=cwstd(vector)cwsum=sum(vector,1);%对列求和[a,b]=size(vector);%矩阵大小,a为行数,b为列数fori=1:aforj

5、=1:bstd(i,j)=vector(i,j)/cwsum(j);endend%%{不知道你们是用的哪种数据标准化，，一般都是用去均值的方法，即零均值化，，functionstd=cwstd(vector)cwsum=mean(vector,1);%对列求平均[a,b]=size(vector);%矩阵大小,a为行数,b为列数fori=1:aforj=1:bstd(i,j)=vector(i,j)-cwsum(j);%每个维度上的数据减去对应维度的元素均值endend}%%3.2cwfac.m%cwfac.mfunctionresult=cwfac(vector);

6、fprintf('相关系数矩阵:')std=corrcoef(vector)%计算相关系数矩阵68《计量地理学》（徐建华，高等教育出版社，2005）配套实习指导fprintf('特征向量(vec)及特征值(val)：')[vec,val]=eig(std)%求特征值(val)及特征向量(vec)newval=diag(val);[y,i]=sort(newval);%对特征根进行排序，y为排序结果，i为索引fprintf('特征根排序：')forz=1:length(y)newy(z)=y(length(y)+1-z);endfprintf('%g',

7、newy)rate=y/sum(y);fprintf('贡献率：')newrate=newy/sum(newy)sumrate=0;newi=[];fork=length(y):-1:1sumrate=sumrate+rate(k);newi(length(y)+1-k)=i(k);ifsumrate>0.85break;endend%记下累积贡献率大85%的特征值的序号放入newi中fprintf('主成分数：%g',length(newi));fprintf('主成分载荷：')forp=1:length(newi)forq=1