导数在实际生活中的应用pdf

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1、-----------------------Page1-----------------------课余揽胜数学化 · 导数在实际生活中的 □重庆刘紫阳应用 导数知识是学习高等数学的基础,它在自然科令得()(2),又, y′=03x-203x+400=000, 时,又促进了生产技术和自然科学的发展,它不仅"$ 3 在天文物理工程领域有着

2、广泛的应用而且在日 、、,故当x=20时,y取得最小值, 3 常生活及经济领域也是逐渐显示出重要的作用. 导数是探讨数学乃至自然科学的重要的有效即当C位于距点A为20km时,使该点的烟尘 、3 的工具之一,它也给出了我们生活中很多问题的答浓度最低. 数 数 案诸如生活中的有关环境问题工程造价最省容 学.、、 学评注在经济高速发展的同时,人们也越来越 爱 爱 好积最大等,本文将介绍如何将生活中的有关数学问关心我们赖以生存的环境质量这提示我们不能仅 好, 者 者 题转化为相关的导数问题来求解,以此说明如何应一味地追求经济效益,同时应当注意保

3、护环境. 专专 业业SS用所学数学知识灵活地应用于生活.类型二工程造价问题 精精心心策策划划 类型一环境问题例2如图所示,某地为了开发旅游资源,欲修 高高 例1烟囱向其周围地区散落烟尘造成环境污建一条连接风景点P和居民区O的公路,点P所在 考 考 染,已知落在地面某处的烟尘浓度与该处到烟囱的的山坡面与山脚所在水平面所成的二面角为 αθ 距离的平方成反比,而与该烟囱喷出的烟尘量成正2 (),且,点到平面的距离 0°<θ<90°sinθ=PαPH= 5 比现有、两座烟囱相距,其中座烟囱喷 .AB20kmB ()沿山脚原有一段笔直的公路

4、可供利用 0.4km.AB. 出的烟尘量是A的8倍,试求出两座烟囱连线上的 从点O到山脚修路的造价为a万元/km,原有公路改 点C,使该点的烟尘浓度最低. 分析由题意知要确定某点的烟尘浓度最低,建费用为a万元/km.当山坡上公路长度为lkm(1≤ 2 显然其烟尘浓度源自这两座烟囱,与其距离密切相)时,其造价为(2)万元已知, l≤2l+1a.OA⊥ABPB⊥ 关,因此可考虑先设出与某个烟囱的距离,从而表 ,(),3 ABAB=1.5kmOA=’km. 示出相应的烟尘浓度,再确定其最小值即可.(1)在AB上求一点D,使沿折线PDAO修建

5、公 解不妨设A烟囱喷出的烟尘量是1,而B烟路的总造价最小; 囱喷出的烟尘量为8,设AC=x(其中00),3ABD′E′ x2(20-x)2 沿折线PD′E′O修建公路的总造价小于(2)中得到 ()(2) 2k3x-203x+400 y′=22. x(20-x)的最小总造价,证明你的结论. #!"数学爱好者

6、-----------------------Page2-----------------------课余揽胜数学化 · 事实上,在上任取不同的两点、为使 ABD′E′. 总造价最小,显然不能位于与之间 ED′B. A O故可设位于与之间, E′D′A P E3 且BD′=x,AE′=y,0≤x+y≤,总造价为S万 H1112 D2 B 2x12y111 分析由题意知要求修建公路的总造价最小元,则x-+y+3-+类似于()、() S=1&1a.12 +224* 值,可以先建立相应的总造价函数关系式,再确定 讨论知,2x11,2y1

7、3,当且仅当 x-≥-y+3-≥x= 1&11 其最小值即可.21622 解()如图,,,,1 1PH⊥αHB"αPB⊥AB,y=1同时成立时,上述两个不等式等号同时成 1 4 由三垂线定理 Aα立,此时1,,取得最小值67,点、 BD′=AE=1SaD′ 逆定理知,AB⊥HB,OEP416 H D B分别与点、重合,所以不存在这样的点、, 所以∠PBH是山坡与E′DED′E′ PH使沿折线PD′E′O修建公路的总造价小于(2)中得 所成二面角的平面角,则,设 α∠PBH=θPB==1. sinθ 到的最小总造价. , BD=x0≤

8、x≤1.5. 评注在经济建设的过程中,常常涉及成本问 数数 则222[,] PD=&x+PB=&x+1∈12.题人们总是想利用最少的钱办最多的事这就常学学 ,、, 爱爱 记总造价为()万元,据