解析几何(原稿)

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1、解析几何1．（2006年全国联赛题）给定整数n≥2,设是抛物线与直线的一个交点，试证明：对于任意正整数m，必存在整数k≥2,使为抛物线与直线的一个交点。（P52）证明因为与的交点为显然有若为抛物线与直线的一个交点，则记则（1）由于是整数，也是整数，所以根据数学归纳法，通过（1）式可证明：对于一切正整数是正整数。现在对于任意正整数m取使得与的交点为。2．椭圆上有16个点，顺次为点，点F为左焦点，每每相邻两点与点F连线夹角都相等（）。设到左准线的距离为，求分析椭圆的半长轴半短轴b=4，从而左焦点离心率以椭圆性质为解题的突破口。解如图，设（1）13由椭圆的定义，得代入（1），有解

2、得故=又所以3．在平面直角坐标系xoy中，给定三点A（0，），B（－1，0）C（1，0），点P到直线BC的距离是该点到直线AB，AC距离的等比中项。（1）求点P的轨迹方程；（2）若直线L经过的内心（设为D点），且与点P的轨迹恰好有3个公共点。求直线L的斜率K的取值范围。分析根据距离关系，列出方程，再将交点的问题转化为方程解得问题，不难得出本题解题途径。解（1）直线AB，AC，BC的方程依次为点到AB，AC，BC的距离依次为13且依据设得即或化简得点P的轨迹方程为：圆与双曲线，且不含B，C两点。（2）由（1）知，点P的轨迹包含两部分（1）与（2）（不含B，C两点）由，知的内心

3、D是适合题设条件的点，解得，且知它在圆S上。直线经过D，且与点P的轨迹有3个公共点，所以，直线的斜率存在。设直线的方程为（3）1）当时，直线与圆S相切，有唯一的公共点D，此时，直线平行于轴，表明直线与双曲线有不同于D的两个公共点，所以，直线恰好与点P的轨迹有3个公共点。2)当时，由于B，C两点不在轨迹上，所以，这时，直线与点P的轨迹恰好有3个公共点，必有直线与圆S有两个不同的交点，且直线与双曲线有且只有一个公共点，即方程组有且只有一组实数解，消去并化简得该方程有唯一实数解得充要条件是13（4）或（5）解（4）得，解（5）得综上所述，直线的斜率K的取值范围是有限集4、如图，双

4、曲线的中心在坐标原点O，焦点在轴上，两条渐近线分别为，经过右焦点F垂直于的直线分别交于A，B两点。又已知该双曲线的离心率（1）求证：依次成等差数列（2）若F，求直线AB在双曲线上所截得的弦CD的长度。分析（1）设属双曲线的方程为，先得出所满足的关系式，再寻求之间的关系；（2）在（1）的基础上求出的值，得到双曲线的方程和直线AB的方程，再来求解。解（1）如图5，由已知（1）从而（2）故设，则，故即13令，则，满足,所以依次成等差数列。（2）由已知代入（1）（2）得于是双曲线的方程为。设直线AB的斜率为，则于是直线AB的方程为：联立消得，故弦CD的长度5、已知抛物线C：与直线L

5、：没有公共点，设点P为直线L上的动点，过P作抛物线C的两条切线，A，B为切点。（1）证明：直线AB恒过定点；（2）若点P与（1）中的定点的连线交抛物线C于M，N两点，证明：，分析（1）设，分别求出抛物线C在A，B两点处的切线方程，得到直线AB的方程（用和表示），再根据的任意性说明直线AB过定点。（2）设则可知要证，只需证明，即证13证明（1）设，则由得，所以于是抛物线C在A点处的切线方程为，即。设则有设，同理有所以AB的方程为即，所以直线AB恒过定点（2）PQ的方程为与抛物线方程联立，消去，得设则（1）要证只需证明，即（2）由（1）知（2）式左边故（2）式成立，从而结论成立

6、。6、如图，过抛物线上的一点A（1，1）作抛物线的切线，分别交轴于D，交轴于B，点C在抛物线上，点E在线段AC上，满足；点F在线段BC上，满足13，且，线段CD与EF交于点P，当点C在抛物线上移动时，求点P的轨迹方程。分析利用抛物线切线的求法，结合等式，列出方程，不难求出动点P的轨迹方程，，对的不同求法，应有不同的解题途径。解法1过抛物线上点A的切线的斜率为：，故切线AB的方程为，于是B，D的坐标分别为所以D是线段AB的中点。设则由知，由，得所以，EF所在直线方程为：化简得（1）当时直线CD的方程为（2）联立（1）（2）解得消去，得P点轨迹方程为，当时，EF的方程为，CD的

7、方程为联立解得也在点P的轨迹上。因C与A不能重合，所以所求轨迹方程为。解法2过抛物线上点A的切线斜率为：，故切线AB的方程于是B，D的坐标分别为所以D是线段AB的中点。令则13因为CD为的中线，所以，而所以，故P是的重心。设，因点C异于A，则，故重心P的坐标为消去得点P的轨迹方程说明解析法解决几何问题，最大优点是将几何中隐含的等量关系全部用代数式凸显出来。7、已知过点（0，1）的直线L与曲线C：交于两个不同点M和N，求曲线C在点M、N处切线的交点轨迹。分析可设出直线的方程和点M，N的坐标，根据已知条件列出关系式进行