电动力学基础知识必备

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1、内容：1.勒维-齐维塔记号2.基本矢量运算公式3.亥姆霍兹定理的两种表述形式1.勒维-齐维塔记号定义勒维-齐维塔（）记号为：+1是的偶排列(1)-1是的奇排列0中有两个指标相同l勒维-齐维塔记号的一个重要等式：(2)2.基本矢量运算公式2.1两矢量叉乘的矩阵表示用、和分别表示直角坐标系、和轴的单位向量，则可知有如下关系成立(3)因此即有(4)2.2三个矢量间的混合积和双重矢量积利用标量积和矢量积的定义，可以证明两个很有用的公式：4三个矢量的混合积(5)双重矢量积(6)上述两公式的证明如下：l混合积公式的证明由行列式可以看出混合积对、和具有轮换对称性，即有：(

2、7)l双重矢量积公式的证明即有：(8)上式证明中用到了勒维-齐维塔记号的性质式。2.3算符的线性运算性质对任意的数量场、以及矢量场、，根据算符的定义以及矢量的标量积和矢量积的分配律，容易验证算符具有如下线性运算性质：(9)(10)(11)4式中、为任意常数。例题：求两个矢量场、的矢量积的散度，即求[解]考虑到算符的求导作用式中表示不被作微分运算，同理（以后此种记号都作这样的理解）。根据矢量公式作调整得到(12)交换、的顺序，由式可以推出(13)于是(14)推导过程说明在式中的项是过渡性的。之所以这么说是因为在这一步中仅考虑了矢量运算法则，而没有顾及到矢量要被

3、作微分运算（即只能出现在的后面）。但是这一步对于得到最终的结果还是必要的，因此在进行具体运算时也需要把它写出来。不过它不能直接以相等的关系出现在运算过程中，所以在推导过程中我们用记号“”把它与其它项区别开来，以表示“过渡性”的含义。还要指出的是在式、式的最后结果中，我们把、的下标都去掉了，这是因为、仅仅是用以表示、不被哈密顿算符作用的一种“记法”，现在既然、都已经挪到的前面去了，所以再在、的下面放个就没有意义了。3亥姆霍兹定理的两种表述形式l亥姆霍兹定理表述形式之一：在空间有限区域内的任意一个矢量场4，由它的散度、旋度以及边界条件（即限定体积的闭合面上的矢量

4、场分布）唯一确定。l亥姆霍兹定理表述形式之二：对于空间有限区域内的任意一个矢量场，若已知它的散度、旋度和边界条件，则可以唯一地确定该矢量场，并可以将之表示成一个无旋场（）和一个无源场（）之和。即(15)其中(16)(17)上面两式中，，是场点到源点的距离。代表已知的通量源密度，代表已知的旋涡源密度。“”和“”分别表示对求散度和旋度。函数是给定的。如果矢量场在无限远处以足够快的速度减弱至零，则式和式中的体积分可以扩展到整个无限大空间，并且在包围整个空间的曲面上的，这时，和式中的面积分项就不存在了。这时可以有：(18)(19)(20)上述公式中的就是有场源分布的

5、区域。4