闭区间连续函数性质(II)

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1、2.4.2闭区间上连续函数的性质一、函数的一致连续性一致连续的概念2.4.4证证于是证′在（0,1]上，注如果是开区间，或者是无穷区间，则上述结论未必成立.上连续,则上一致连续.定理2.4.5（一致连续性定理）若函数f在闭区间(i)最大值与最小值的概念定义1对于在区间D上有定义的函数f(x)，如果有x0D，使得对于任意xD都有f(x)f(x0)(f(x)f(x0))则称f(x0)是函数f(x)在区间D上的最大值(最小值)最大值与最小值举例:例如函数f(x)=1+sinx在区间[02p]上有最大值2和最小值0二

2、闭区间连续函数的性质1.最值定理和有界性定理再如函数y=sgnx在区间(−+)内有最大值1和最小值−1但在开区间(0+)内，它的最大值和最小值都是1注并非任何函数都有最大值和最小值例如，函数y=x在开区间(ab)内既无最大值又无最小值(ii)最大值和最小值定理定理2.4.7在闭区间[a,b]上连续的函数在该区间上一定能取得它的最大值和最小值又至少有一点x2至少有一定理说明如果函数f(x)在闭区间[ab]上连续，那么点x1[ab]，使f(x1)是f(x)在[ab]上的最大值，[ab]，使f(

3、x2)是f(x)在[ab]上的最小值该定理可用确界原理证明，参见P69注如果函数仅在开区间内连续，或函数在闭区间上有间断点，那么函数在该区间上就不一定有最大值或最小值例如，函数y=x在开区间(ab)内既无最大值又无最小值又如，如下函数在闭区间[02]内既无最大值又无最小值推论(有界性定理,P76)在闭区间上连续的函数一定在该区间上有界证(补充)设函数f(x)在闭区间[ab]上连续根据定理4.6存在f(x)在区间[ab]上的最大值M和最小值m使任一x[ab]满足mf(x)M上式表明f(x

4、)在[ab]上有上界M和下界m因此函数f(x)在[ab]上有界2.根的存在定理与介值定理其中：如果x0使f(x0)=0，则x0称为函数f(x)的零点定理2.4.8(根的存在,零点定理)设函数f(x)在闭区间[ab]上连续，且f(a)与f(b)异号，那么在开区间(ab)内至少存在一点x0，使f(x0)=0几何解释:例证明方程x3-4x2+1=0在区间(01)内至少有一个根证设f(x)=x3-4x2+1，则f(x)在闭区间[01]上连续，并且f(0)=1>0，f(1)=-2<0根据根的存在定理，在(01

5、)内至少有一点x0，使得f(x0)=0，即x03-4x02+1=0这说明方程x3-4x2+1=0在区间(01)内至少有一个根是x0证由根的存在定理，定理2.4.9(介值性定理)设函数f(x)在闭区间[ab]上连续，且f(a)f(b)，则对于f(a)与f(b)之间的任意实数，在开区间(ab)内至少有一点x0，使得f(x0)=即[f(a),f(b)]f([a,b]).推论2(P76)在闭区间上连续的函数必取得介于最大值M与最小值m之间的任何值即[m,M]=f([a,b]).几何解释:μ证(推论2)2.4.3连

6、续函数在极限计算中的应用解例解同理可得解