通俗简易讲解“变分问题

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1、通俗简易讲解“变分问题”季泉生jiquansheng1@163.com2013.12.13由于60至70年代有限元方法的发展及其在工程上的广泛应用，变分原理作为其理论基础，显示出重要性。世界上有两个学术中心，引起各国学者的注意，一个是美国麻省理工学院的赖斯纳、日本著名学者鹫津久一郎、卞学鐄等人，另一个就是钱伟长等一批中国的科学家。以往的变分原理工作，大都是凑出来的，即首先写出泛函，再取驻值验证。所以每一个新原理的出现都是一项重要成果。钱伟长试图找到系统的做法，他首先从最小位能原理和最小余能原理出发，把约束

2、条件利用拉格朗日乘子引入泛函，从而先放松条件，得到相应广义化的变分原理。在变分中可以把待定的拉氏乘子确定下来，这是对建立广义变分原理的泛函提出合乎逻辑的数学方法，无疑是一个重要成果。可惜在1964年将文章投给《力学学报》后，该报的编委予以退稿处理。从审查意见中可以看到，审查者并不完全理解拉格朗日乘子法。日本鹫津久一郎在1968年出版的《弹性和塑性力学中的变分法》一书中，才比较明确地应用了拉氏乘子法，但还有一些要点上不够明确，如待定乘子通过泛函驻值条件来决定的观点还没有反映。一直到1977年，国外的文献上才

3、有这一方面的论述。O.C·钦科维奇（Zienkiewicz）在《有限元法》一书中明确地把Courant和Hilbert的经典著作中有关变分约束条件，待定拉格朗日乘子法加以讲解，应用到弹性力学变分原理中。比起钱伟长1964年的工作已晚了13年。补充几个概念（1）极值曲线（函数）。在通过已知点A、B的所有曲线（函数）y=y(x)中（函数y(x)在区间[a0,a1]上连续），求出这样的函数，使得泛函取得极大或极小值，这样的曲线（函数）称为极值曲线（函数）。（2）容许曲线。满足条件的光滑曲线称为泛函的容许曲线，即

4、通过M0（a0,b0）、M1（a1,b1）的曲线称为容许曲线。式中，α为任意实数，易证曲线族中的每条曲线都属于容许曲线族。变分，可以推导出在曲线达到极值，则必为微分方程的解。此方程是欧拉1744年得出的，故称为欧拉方程。若F不显含x，此时泛函于是欧拉方程可降价为一阶方程。有限元法是以变分原理为基础，吸取差分格式的思想而发展起来的一种有效的数值解法，它把求解无限自由度的选定函数归结为求解有限个自由度（中待定的节点参数值的总个数）的待定问题，具有按分布形式的节点及其一定的节点参数子区域e称为单元。几个概念泛函

5、—函数的函数，表达式：；称为变分；泛函的极值条件。几个实例1.最大速降问题坐标原点到某点M（a,b）时间最短，是走什么轨道（轨迹）。根据欧拉方程降阶欧拉方程（如果泛函不含x）降阶欧拉方程设滚轮（半径为）沿x轴滚动的轨迹为旋轮线（俗称摆线）钟表中的齿轮齿形曲线不是渐开线而是摆线，其特点中心距不可分，优点精确。2.等周问题—条件泛函极值一块钢板围成什么曲面做成的半壁料仓其容积最大。化成平面问题，定长直线，围成什么曲线使其所围面积最大。条件：，泛函构造一个新函数λ—拉格朗日乘子。根据降阶欧拉公式：设半径为λ的圆

6、弧，通过（0，a）点。