运筹学-修正单纯形法(I)(名校讲义

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1、第九讲修正单纯形法（1）大约在1954年，Dantzig和他的同事就发现了更有效的单纯形法。我们知道，在单纯(扩展)表格中，共有3组元素，分别与矢量组“a1，…，an”，“b”及“e1……em”相对应，如果说前面讲的习惯用的一般单纯形表格法可只采用左边两组的话，那么，修正单纯形法在运算迭代中只应用右边两组，下面就具体阐述该种方法。仍假设：AX=b，X≥0，CTX=min(1)且A、b、C已知，属非退化情形，计算过程，将始终用到A，B，C这些原始数据，故需保存。每一个阶段仍用单纯形表格迭代，只用右边两组，即m+1列，每个表格与当前基础解集相对应（j1，…，jm）：第九讲修正单纯形法（2）t10·

2、··tm0u11…u1mum1…ummz0y1…ym(2)其中：ti0——给出当前基础解uij——给出当前基础阵之逆z0——给出当前基础解费用yi——给出当前基础阵之联立方程解YTM=(3)第九讲修正单纯形法（3）(5)其中——当前基础解的目标系数。表格的起步可根据两阶段法的第1阶段之初始基础解表格开始，即：ti0=bi，uij=ij，z0=Σbi，yi=1(4)第1阶段结束后，第2阶段开始的表格需加以修改，唯一修改处是最末一行，这是由于目标函数发生了变化z0和yi计算公式为：第九讲修正单纯形法（4）(6)如果zj>cj，则令j=s，并作为支点列。如果zj≤cj，则去试探其它非基础列j，假若

3、所有非基础列j的zj≤cj，则已达到最优解，其最优解值为：下面来阐述表格的迭代过程。在一般单纯形表格法中，每次检验元素zj－cj全部算出，然后寻找支点列，而在修正单纯形表格中，不需一次计算全部检验元素，而是逐个计算。设j属非基础集，则：第九讲修正单纯形法（5）(7)其最小费用为z0和最优对偶解为yT。否则，计算zj(按6式)，找出zj>cj，并令j=s，然后处理如下：首先，计算单纯形表的支点列s：(8)第九讲修正单纯形法（6）如果所有tis≤0，则最优解不存在，最优目标无限，即，(9)费用若存在tis>0,可求出支点行：(10)第九讲修正单纯形法（7）求出支点行后，就可进行修正单纯形表格的转换

4、，其表格转换元素的计算只需计算后面m+1列，即：新行r=(原行r)/trs(11)新行i(ir)=(原行i)－i(原行r)(12)其中：最后，用as取代旧表格Vr中表示的基矢量。第九讲修正单纯形法（8）[例1-23]已知线性规划为：[解]1）应用阶段1，求出初始基础可行解构成新规划：A'X'=b'，X'≥0,C'TX'=min第九讲修正单纯形法（9）令人工变量作为第1个基础可行解之基础变量，其对应的表格为：e1e2be1e251013011811第九讲修正单纯形法（10）检验非基础变量a1，a2，a3能否进基，可按任何次序检验。先检验a1：第九讲修正单纯形法（11）e1e2a1be1e21

5、5104130151811min{5/1，13/4}=13/4r=2。支点元素为t’21，进行变换使(t1)’列中：t’21=1，t’11=0，z’1－c’1=0，得：将(t1)'临时放入表格中，以便求出支点行，第九讲修正单纯形法（12）当前表格对应的基础矢量为e1和a1。再次校验非基础矢量，看是否可进入基础矢量，任意选择a3检验。e1a1a1be1e207/41-1/4113/401/407/41-1/4第九讲修正单纯形法（13）将(t3)'加入修正单纯形表格中，并求出支点行r。e1a1a3be1e23/27/41-1/43/213/401/43/27/41-1/4第九讲修正单纯形法（1

6、4）即e1离开基，a3进基，将表格变换得：a3a1a3be1e217/62/3-1/603/2-11/20000从表中看出，故阶段1结束，得出初始基础可行解为x3=7/6，x1=3/2，x2=0。第九讲修正单纯形法（15）2）现进行阶段2，阶段2的第1个表格可借用阶段1的最后表格，仅仅将最后一行加以修改。此时：A，B，C恢复到原问题数值，这时CT=(7，1，1)。其初始表格为：a3a1be1e27/62/3-1/63/2-11/235/3-19/310/3其中，第九讲修正单纯形法（16）现判断非基矢量a2是否应进入基础解集。第九讲修正单纯形法（17）即支点行r=1，a3离开，支点元素t12=1

7、/2。将a2加入表格并转换a2be1e21/27/62/3-1/61/23/2-11/2335/3-19/310/3将a2对应的t2列变为t12=1，t22=0，z2－c2=0得出新表格为：第九讲修正单纯形法（18）目前基础矢量为a2和a1。再检验非基矢量a3：a2be1e217/34/3-1/301/3-5/32/3014/3-31/313/3a2a1故已得最优解：x2=7/3，x1=1/3y1