自考计算机应用管理信息系统开发

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1、无穷级数从18世纪以来，无穷级数就被认为是微积分的一个不可缺少的部分，是高等数学的重要内容，同时也是有力的数学工具，在表示函数、研究函数性质等方面有巨大作用，在自然科学和工程技术领域有着广泛的应用本章主要内容包括常数项级数和两类重要的函数项级数——幂级数和三角级数，主要围绕三个问题展开讨论：①级数的收敛性判定问题，②把已知函数表示成级数问题，③级数求和问题。一、问题的提出1.计算圆的面积正六边形的面积正十二边形的面积正形的面积二、级数的概念1.级数的定义:一般项(常数项)无穷级数级数的部分和部分和数列2.级数

2、的收敛与发散:余项无穷级数收敛性举例：Koch雪花.做法：先给定一个正三角形，然后在每条边上对称的产生边长为原边长的1/3的小正三角形．如此类推在每条凸边上都做类似的操作，我们就得到了面积有限而周长无限的图形——“Koch雪花”．观察雪花分形过程第一次分叉：依次类推第次分叉：周长为面积为于是有雪花的面积存在极限（收敛）．结论：雪花的周长是无界的，而面积有界．解收敛发散发散发散综上解三、基本性质结论:级数的每一项同乘一个不为零的常数,敛散性不变.结论:收敛级数可以逐项相加与逐项相减.证明类似地可以证明在级数前面

3、加上有限项不影响级数的敛散性.证明注意收敛级数去括弧后所成的级数不一定收敛.收敛发散事实上，对级数任意加括号若记则加括号后级数成为记的部分和为的部分和记为则由数列和子数列的关系知存在，必定存在存在未必存在四、收敛的必要条件级数收敛的必要条件:证明注意1.如果级数的一般项不趋于零,则级数发散;发散2.必要条件不充分.讨论2项2项4项8项项由性质4推论,调和级数发散.由定积分的几何意义这块面积显然大于定积分以1为底的的矩形面积把每一项看成是以为高就是图中n个矩形的面积之和即故调和级数发散调和级数的部分和常数项级数

4、审敛法正项级数任意项级数1.2.4.充要条件5.比较法6.比值法7.根值法4.绝对收敛5.交错级数(莱布尼茨定理)3.按基本性质;一般项级数4.绝对收敛2、正项级数及其审敛法(1)比较审敛法(2)比较审敛法的极限形式是同阶无穷小特别（等价无穷小）3、交错级数及其审敛法4、任意项级数及其审敛法Leibniz定理绝对收敛，条件收敛附：正项级数与任意项级数审敛程序例1求极限解考察正项级数由检比法收敛由级数收敛的必要条件得二、典型例题例2设试证发散证不妨设a>0由极限保号性知由于故由比较法的极限形式得发散例3若都发散

5、则A必发散B必发散C必发散D以上说法都不对例3解根据级数收敛的必要条件，原级数发散．解从而有原级数收敛；原级数发散；原级数也发散．例4解即原级数非绝对收敛．由莱布尼茨定理：所以此交错级数收敛，故原级数是条件收敛．都收敛且例5设试证收敛证由知因都收敛故正项级数收敛再由比较审敛法知正项级数收敛而即可表为两个收敛级数之和故收敛例6设且若收敛则也收敛证由题设知而收敛由比较法得收敛Cauchy积分审敛法设单调减少则与同敛散例7证由f(x)单调减少知即故与同敛散例8设是单调增加且有界的正数数列试证明收敛证记则且而正项级数

6、的部分和又单调增加且有界故由单调有界原理知存在即收敛进而收敛由比较法得收敛设正数数列单调减少，级数发散考察的敛散性证记由单调减少故由单调有界原理知存在且若由Leibniz审敛法得交错级数收敛与题设矛盾由检根法知收敛例9已知证明⑴⑵⑶由知对有证⑴例10而收敛故由比较法知收敛⑵由知有而发散故由比较法知发散⑶如但讨论的敛散性解对级数收敛绝对收敛发散发散分情况说明例11级数成为收敛发散级数成为绝对收敛条件收敛例12对的值，研究一般项为的级数的敛散性解由于当n充分大时，定号故级数从某一项以后可视为交错级数总有级数发散非

7、增地趋于0由Leibniz审敛法知收敛但而发散故由比较法的极限形式发散条件收敛级数显然收敛正项级数由级数收敛的必要条件要使收敛必须但在一般项趋于0的级数中为什么有的收敛有的却发散，因此从原则上讲，比较法是基础，更重要更基本，但其极限形式（包括极限审敛法）则更能说明问题的实质，使用起来也更有效的阶问题的实质是级数收敛与否取决于关于常数项级数审敛和作为变化快慢得到检比法和检根法，检比法和检根法的实质是把所论级数与某一几何级数作比较，虽然使用起来较方便但都会遇到“失效”的情况。这一结论将许多级数的敛散性判定问题归结

8、为正项级数的敛散性判定注①比较法、比较法的极限形式、检比法、检根法、积分审敛法，只能对正项级数方可使用的一种估计②检比法、检根法只是充分条件而非必要条件③L—准则也是充分条件而非必要条件④通项中含等常用检比法⑤通项中含有以n为指数幂的因子时常用检根法⑥使用比较法的极限形式时，关键在于找出与同阶或等价的无穷小如记则⑦当所讨论的级数中含有参数时，一般都要对参数的取值加以讨论