3.4 概率的应用

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1、中国人民大学附属中学3.4概率的应用例1.在英语中某些字母出现的概率远远高于另外一些字母.在进行了更深入的研究之后，人们还发现各个字母被使用的频率相当稳定.例如，下面就是英文字母使用频率的一份统计表.字母空格ETOANIRS频率0.20.1050.0710.06440.0630.0590.0540.0530.052字母HDLCFUMPY频率0.0470.0350.0290.0230.02210.02250.0210.01750.012字母WGBVKXJQZ频率0.0120.0110.01050.0080.0030.0020.0010.0010.001从表中我

2、们可以看出，空格的使用频率最高.有鉴于此，人们在设计键盘时，空格键不仅最大,而且放在使用方便的位置.近年来对汉语的统计研究有了很大的发展.关于汉字的使用频率已有初步统计资料，对汉语常用词也作了一些统计研究.这些信息对汉字输入方案等的研制有很大帮助.使用过汉字拼音输入法的同学可能有体会.如图，当输入拼音“shu”，则提示有以下几种可供选择：1.数，2.书，3.树，4.属，5.署……这个显示顺序基本上就是按照拼音为“shu”的汉字出现频率从大到小排列的.数▼1数2书3树4属5署6输7淑8术9舒例2.在密码的编制和破译中，概率论起着重要的作用.要使敌人不能破译电文

3、而又能使盟友容易译出电文，一直是外交官和将军们关心的问题.为了保密，通讯双方事先有一个秘密约定，称为密钥.发送信息方要把发出的真实信息——明文，按密钥规定，变成密文.接收方将密文按密钥还原成明文.例如，古罗马伟大的军事和政治家凯撒大帝把明文中的每个字母按拉丁字母次序后移三位之后的字母来代替，形成密文.接收方收到密文后，将每个字母前移三位后便得到明文.这是一种原始的编制密码方法。以传送命令：“WewillstartthefightatelevenO’clockonWednesday”为例，编译这个命令得到“Zhzloovwduwwkhiljkwdwhohyhq

4、r’forfnrqZhgqhvgdb”。如果初次接触，会感到莫名其妙，不知如何是好。在书面语言中单个的字母不是以同样的频率出现的.从例1中英文字母出现频率的统计表中我们可以看出，在英文常用文章中，这种方法使用了很长一段时间后，有人掌握了破译的方法。你知道是如何破译的吗？平均说来出现字母“E”的频率约为10.5%,“T”约为7.1%，而“J”的出现远小于1%.如果掌握了这个规律，再用上面的方法解密，通过对用密码写的密文中的字母进行频率分析，就能比较容易地破译出密文，出现频率最高的字母，无论你在编译中使用什么字母，它一般都表示“e”，出现频率次高的字母大概是“t

5、”，等等。现代保密系统采用了能确保每个字母出现在密文中的概率都相等的技术.一种理论上不可破译的密码是“一次性密码本”（用后立即销毁）.这种密码本是一长串的随机数，每个都在1和26之间.这样一种密码本可能从以下数开始：19，7，12，1，3，8，….。如“ELEVEN”这个词，用按字母表顺序排在E后面第19个字母表示E，而用L后面第7个字母表示L，等等.因此，ELEVEN变成了XSQWHV.注意，尽管在明文中“E”出现3次，但是在密文XSQWHV中却是用三个不同的字母来替换的.例3.社会调查人员希望从人群的随机抽样调查中得到对他们所提问题诚实的回答.但是被采访

6、者常常不愿意如实地作出应答.1965年StanleyL.Warner发明了一种应用概率知识来消除这种不愿意情绪的方法.Warner的随机化应答方法要求人们随机地回答所提两个问题中的一个，而不必告诉采访者回答的是哪个问题.两个问题中有一个是敏感的或者是令人为难的；另一个问题是无关紧要的.这样应答者将乐意如实地回答问题，因为只有他知道自己回答的是哪个问题.例如在调查运动员服用兴奋剂的时候，无关紧要的问题是“你的身份证号码的尾数是奇数吗”，敏感的问题是“你服用过兴奋剂吗”，然后要求被调查的运动员掷一枚硬币.如果出现正面，就回答第一个问题，否则回答第二个问题.假如我

7、们把这种方法用于200个被调查的运动员，得到54个“是”的回答.因为掷硬币出现正面的概率为，我们期望大约有100人回答了第一个问题.因为身份证号码尾数是奇数或偶数的可能性是同样的，因而在回答第一个问题的100人中大约有一半人，即50人，回答了“是”.其余4个回答“是”的人服用过兴奋剂.由此我们估计这群人中大约有4%的人服用过兴奋剂例4.为了估计水库中的鱼的尾数，可以使用以下的方法：先从水库中捕出一定数量的鱼，例如2000尾，给每尾鱼作上记号，不影响其存活，然后放回水库.经过适当的时间，让其和水库中其余的鱼充分混合，再从水库中捕出一定数量的鱼，例如500尾，查

8、看其中有记号的鱼，设有40尾.试根据上述数据，估计水