傅里叶与z变换

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1、第五章z变换5-1概述在电路理论中我们学过拉普拉斯变换，在那里把它作为连续时间傅里叶变换的一种推广，做这中推广的部分原因是由于拉普拉斯变换比傅里叶变换有着更广泛的适用范围，有许多信号，其傅里叶变换不存在，但却有拉普拉斯变换，比如一个不稳定的线性时不变系统的傅里叶变换不存在，但它的拉普拉斯变换却存在，运用拉普拉斯变换可以对系统的不稳定性作分析，从而找出使系统稳定的措施或找出系统不稳定的原因。对于离散系统表述系统和信号的数学抽象是序列，其变量为离散变量，因此拉普拉斯变换已不适用。作为序列的傅里叶变换的推广就是z变换。作为一种重要

2、的数学工具，它把描述离散系统的差分方程，变换成代数方程，使其求解过程得到简化。还可以利用系统函数的零、极点分布，定性分析系统的时域特性、频率响应、稳定性等，是离散系统分析的重要方法。Z变换在离散系统的作用与地位，与拉氏变化在连续时间系统相当。本章中要讨论z变换的定义、性质和它与傅里叶变换、拉普拉斯变换的关系。5-2z变换的定义及其收敛域序列的傅里叶变换定义为：（5-1）式中是的复函数，变量是实数，也可以看成是复数变量的函数，这时就是复变函数，只不过“复数”变量只在虚轴上取值，现在若将这个“复数”延拓到实轴上取值，即，这时（5

3、-1）式中的就变成，这样（5-1）式就应该写成（5-2）显然，上式表述在形式有点累赘，注意到本身也是一个复数变量，令，则（5-2）式就为（5-3）上式就是序列的z变换，通过前面的说明可以看到序列的z151变换实际上就是序列傅里叶变换的推广，序列的z变换是复数变量z的函数，即是个复变函数。（5-3）式中对n的求和是从到，即是在时域坐标原点的两边范围内进行，所以（5-3）式定义的z变换通常称为双边z变换。z变换我们也用符号“Z”来表示，即（5-4）将（5-3）式展开有（5-5）这是一个以z为变量的幂级数，我们知道只有当一个幂级数

4、收敛时，讨论这个幂级数的特性才有意义，也就是说序列的z变换存在，讨论序列的z变换才有意义。那么，序列是否存在？存在的条件是什么？这时我们学习z变换时首先要回答的问题。序列的z变换是z平面上的一个函数，所谓z平面是指图5-1所示的平面，z平面的横轴表示复数变量z的实部，z平面的纵轴表示复数变量的虚部。在z平面中以坐标原点为圆心，以单位1为半径的圆称为z平面中的单位圆，它在z平面中的方程为。比较序列的傅里叶变换公式图5-1z平面及单位圆既有（5-6）这就是说，序列的傅里叶变换实际上就是序列z变换在z平面中单位圆上的取值。换句话说

5、，序列的傅里叶变换是序列在z平面单位圆上的变换，z变换是将变换延拓到整个z平面中。在一次回到前面提出的问题，这种延拓是否存在，即（5-5）式所示的幂级数是否收敛。显然，（5-5）式的收敛性取决于离散信号和z的取值范围。如果序列给定，则（5-5）式收敛性取决于z的取值范围，我们称所有使（5-5）式幂级数（即序列的z变换）绝对收敛的z值的集合为序列z变换的收敛域。151例如：则这是个等比幂级数级数，为了求出幂级数的闭式解可以用以下极限方法求解，上示方括号中的和式为等比级数求和，则有当时，上式极限存在的充分必要条件是，即，也就是说

6、，所有满足关系的z值都可使序列的z变换收敛，所以单位阶跃序列u(n)的收敛域为，对所有收敛域中的z值，阶跃序列z变换的闭式表达式为5-3序列z变换的基本特性在以上的讨论中，我们强调了序列z变换收敛域的重要性，那么是否所有序列的z变换都可以找到收敛域呢？换句话说，是否所有序列的z变换都存在（既有意义）？下面就来讨论这个问题。将复变量z表示成极坐标形式，则序列的z变换可以写成因此序列的z变换可以看成是一个实指数序列乘以序列后得傅里叶变换。序列傅里叶变换一致收敛（存在）的条件是序列绝对可积，即（5-7）151由此可见，由于序列乘上

7、了实指数序列，即使序列的傅里叶变换不存在，但它的z变换却可能存在，这表明z变换适用的范围远比傅里叶变换宽，这也就是要引入z变换分析的原因之一。前面我们已经提到序列z变换的收敛域与序列本身的特性有关，下面就来讨论序列z变换的基本特性。1．有限长序列（finitelengthfrequence）若序列的非零值点仅分布在有限整数集合上，则称此序列为有限长序列，即nn2（5-8）这里。因为序列的非零值点仅分布在有限整数集合[n1,n2]上，所以这类序列的z变换为（5-9）要使这个和式收敛，在序列有界（即）的条件下，z变换

8、的收敛域就取决于，的取值。现在分几种情况来讨论，第一种情况：，在这种情况下，z变换可以写成上式中第一个和式里的n<0，所以在处，，和式不收敛（发散），此外对所有z这个和式均收敛。上式中第二个和式里，所以在z=0处，，和式也不收敛（发散），此外对所有z值这个和式均收敛。综上所述，在第一种情况