§6.Frenkel 激子

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1、§6.Frenkel激子一些离子晶体的价电子的波函数适用紧束缚近似的方法。电子的有效质量大、带窄。因而电子和空穴的引力强，距离大小。极限情况下，电子和空穴处于同一格点，即Frenkel激子。与Wannier激子相反。Frenkel激子的空间分布小，动量空间上分布宽，因此不用布洛赫函数而用Wannier函数来描述。Wannier函数定义为：其中是格矢。逆变换为实际上，是布洛赫函数在空间展开成Fourier级数时的Fourier系数。Wannier函数有以下特点：i)是宗量的函数。ii)具有明显的局域性。其值主要集中在附近。iii)不同能带与不同格点的Wannier函数是正

2、交的。本节取Wannier表象，以为基矢。将场算符展开为：（注意在布洛赫表象中）仍然只考虑价带与导价只考虑一个电子——空穴对的态，Hamilton量将各项表示为Wannier表象，（类似与§4）注意，Wannier函数与不同。它不满足H-F方程。为简单起见，以下我们将等简记为等。由Wannier函数的局域化特性。可以忽略不同格点的函数交迭，即在矩阵元中取的项。因而由于Wannier函数以为宗量，所以括号中的两个矩阵元都与无关，为常量。如果进一步略去单体项中的非对角矩阵元。则可表为类似地以及于是Hamilton量表示为在电子与空穴束缚在同一格点的近似下，波函数应是的线性组

3、合。由平移对称性，取定义激子产生算符及湮灭算符为则下面考察中各项对的作用。由于所以可以用来代替及。又所以，忽略常数项以后记则由此得能谱可见，Frenkel激子的运动完全由交换积分引起。相邻晶胞间的相互作用使晶胞的激发沿某一方向在空间传播。在处理的过程中舍去了哈密顿量的其它一些项。这些项单粒子激发态与集体激发态以及集体激发态之间的相互作用。而集体激发态通过这些散射机制不断地跃迁到其它态。因而这些项与集体激发态的寿命有关。尚需指出。并非真正的玻色算符，因而激子也并非真正的玻色子。其对易关系为：然而对于基态及激子态，其电子数空穴数相等。因而在平均意义下，对于低激发态可以把近似

4、看作玻色算符。以上讨论的是能带非简并的情况。实际上往往各能带有不同的对称性。价带具有中心对称性，是非简并的。导带具有轴对称性。是三重简并的。实际上，在窄带紧束缚近似下Wannier函数就是原子的波函数。这两种对称性可看作自由原子的s电子与p电子的对称性在晶体势作用下的遗迹。在简并情况下，Wannier函数还应带有一个指标，对于导带，激子算符成为态6.16的分量考虑Hamilton量6.13对以上态的作用。前几项仍可写成最后一项为它作用在上记它对m求和以后与无关。于是上式成为所以其中矩阵