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1、学智教育数学组试题(1)出题人：方成1.一个圆作滚动运动（如图），它从位置A开始，在与它相同的其它六个圆上部滚动，到达B位置（六个圆的圆心与A、B在同一直线上），则该圆上某一定点绕其圆心共滚过的圈数为（ ）圈．2.如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，将△ABE沿AE折叠，使点B落在AC上的点B′处，又将△CEF沿EF折叠，使点C落在EB′与AD的交点C′处．则BC：AB的值为 _________ ．3.如图，⊙O的半径为1，等腰直角三角形ABC的顶点B的坐标为（，0），CAB=90°，AC=AB
2、，顶点A在⊙O上运动．（1）当点A在x轴上时，求点C的坐标；（2）当点A运动到x轴的负半轴上时，试判断直线BC与⊙O位置关系，并说明理由；（3）设点A的横坐标为x，△ABC的面积为S，求S与x之间的函数关系式，并求出S的最大值与最小值；ABCOxy（4）当直线AB与⊙O相切时，求AB所在直线对应的函数关系式．4.（动点问题）如图，已知△ABC是边长为6cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿AB、BC匀速运动，其中点P运动的速度是1cm/s，点Q运动的速度是2cm/s，当点Q到达点C时，P、Q两点
3、都停止运动，设运动时间为t（s），解答下列问题：（1）当t＝2时，判断△BPQ的形状，并说明理由；（2）设△BPQ的面积为S（cm2），求S与t的函数关系式；（3）作QR//BA交AC于点R，连结PR，当t为何值时，△APR∽△PRQ？参考答案3．（1）当点A的坐标为（1，0）时，AB=AC=-1，点C的坐标为（1，-1）；…………………………………………………………………1分当点A的坐标为（-1，0）时，AB=AC=+1，点C的坐标为（-1，+1）；………2分（2）直线BC与⊙O相切……………………………………
4、………………………………3分过点O作OM⊥BC于点M，∴∠OBM＝∠BOM=45°,∴OM=OB·sin45°=1……………………………………………………………………4分∴直线BC与⊙O相切……………………………………………………………………5分（3）过点A作AE⊥OB于点E在Rt△OAE中，AE2=OA2-OE2=1-x2，在Rt△BAE中，AB2=AE2+BE2=(1-x2)+（-x）2=3-2x∴S=AB·AC=AB2=(3-2x)=……………………………………6分其中-1≤x≤1，当x=-1时，S的最大值
5、为，……………………………………………………7分当x=1时，S的最小值为．……………………………………………………8分（4）①当点A位于第一象限时(如右图)：连接OA，并过点A作AE⊥OB于点E∵直线AB与⊙O相切，∴∠OAB=90°，ABCOxyE又∵∠CAB=90°，∴∠CAB+∠OAB=180°，∴点O、A、C在同一条直线上∴∠AOB=∠C=45°，在Rt△OAE中，OE=AE=．点A的坐标为（，）……………………………………………9AB（C）OxyE过A、B两点的直线为y=－x+．………………………………
6、……10分②当点A位于第四象限时(如右图)：点A的坐标为（，－）………………………………………11分过A、B两点的直线为y=x－．……………………………………4.解：(1)△BPQ是等边三角形,当t=2时,AP=2×1=2,BQ=2×2=4,所以BP=AB-AP=6-2=4,所以BQ=BP.又因为∠B=600,所以△BPQ是等边三角形.(2)过Q作QE⊥AB,垂足为E,由QB=2y,得QE=2t·sin600=t,由AP=t,得PB=6-t,所以S△BPQ=×BP×QE=(6-t)×t=－t2+3t；(3)因为Q
7、R∥BA,所以∠QRC=∠A=600，∠RQC=∠B=600，又因为∠C=600,所以△QRC是等边三角形,所以QR=RC=QC=6-2t.因为BE=BQ·cos600=×2t=t,所以EP=AB-AP-BE=6-t-t=6-2t,所以EP∥QR,EP=QR,所以四边形EPRQ是平行四边形,所以PR=EQ=t,又因为∠PEQ=900,所以∠APR=∠PRQ=900.因为△APR～△PRQ,所以∠QPR=∠A=600,所以tan600=,即,所以t=,所以当t=时,△APR～△PRQ
