2013年初等数论讲义严士健

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1、第一章整数的可除性教学目的和要求（1）深刻理解整除、最大公因数、最小公倍数、质数的概念，正确理解带余数除法（Euclid算法）和算术基本定理的意义及作用。（2）掌握并能直接运用辗转相除法求最大公因数，掌握幼拉脱斯展纳Eratosthenes筛法造质数表的原理。（3）熟练掌握整除、质数、最大公因数和最小公倍数的基本性质，理解并掌握函数[x]、{x}的概念和基本性质，会求n!的标准分解式（n较小）。本章重点是整除的概念和性质，整除理论是初等数论的基础，学好本章可为学习后继章节打下良好的基础。习题要求P4：1，2，3；P9：1，2；P14：1,2；P19：5；P23

2、：1,2,3。第一节整除的概念·带余数除法定义1设a，b是整数，b¹0，如果存在整数q，使得a=bq成立，则称b整除a或a被b整除，此时a是b的倍数，b是a的因数（约数或除数），并且记作：b½a；如果不存在整数q使得a=bq成立，则称b不能整除a或a不被b整除，记作：ba。定理1下面的结论成立：(1)a½b，b½cÞa½c；（传递性）(2)m½a，m½bÞm½(a±b)(3)m½ai，i=1,2,L,nÞm½a1q1+a2q2+L+anqn，此处qi∈Z（i=1,2,L,n）。（证明留给学生自己）58注：①a½bÛ±a½±b；②b½aÞbc½ac，此处c是任意

3、的非零整数；③b½a，a¹0Þ

4、b

5、£

6、a

7、；b½a且

8、a

9、<

10、b

11、Þa=0。④因式分解an-bn=(a-b)M1,n∈Zan+bn=(a+b)M2,2n定理1(带余数除法)设a与b是两个整数，b>0，则存在唯一的两个整数q和r，使得a=bq+r，0£r

12、¢¢b+r¢¢=q¢b+r¢，0£r¢,r¢¢

13、r¢-r¢¢

14、

15、

16、r¢-r¢¢

17、知，r¢-r¢¢=0，r¢=r¢¢，再由式(2)得出q¢=q¢¢定义2称式(1)中的q是a被b除的商，r是a被b除的余数。由定理1可知，对于给定的正整数b，可以按照被b除的余数将所有的整数分成b类。在同一类中的数被b除的余数相同。这就使得许多关于全体整数的问题可以归化为对有限个整数类的研究（我们将在第三章同余理论里讨论）。例1证明：，其中n是任意整数。证法1：带余数除法n=6k,n=6k+1,n=6k+2,n=6k+

18、3,n=6k+4,n=6k+5.证法2：58从而可知：.证法3：，，又，∴例2若n∈Z,k∈Z+,则说明：k个连续整数的积一定能被k!整除。证明：（1）当n=0时，结论显然成立。（2）当n＞0时，若n≥k,则若0＜n＜k，则，在n,n-1,…,n-k+1这k个数中一定有一个数是0，结论成立。（3）当n＜0时，令n=-n′,-n′＞0,则例3（教材第4页第3题）若是形如（x,y∈Z，a，b是两个不全为零的整数）的数中的最小正数，则∣证明：，由带余除法有则，由是中的最小整数知∴∣注：设a1,a2,L,an为不全为零的整数，以y0表示集合A={y

19、y=a1x1+L+

20、anxn，xiÎZ，1£i£n}中的最小正数，则对于任何yÎA，y0½y；特别地，y0½ai，1£i£n。58本节作业：第4页第2题。第二节最大公因数与辗转相除法定义1设a1,a2,L,an是n（n≥2）个整数，若整数d是它们之中每一个的因数，则d就叫做a1,a2,L,an的一个公因数；其中最大的一个公因数叫做a1,a2,L,an的最大公因数。记为(a1,a2,L,an)。由于每个非零整数的因数的个数是有限的，所以最大公因数是存在的，且是正整数。如果(a1,a2,L,an)=1，则称a1,a2,L,an是互质的；如果(ai,aj)=1，1£i,j£n，i¹j，

21、则称a1,a2,L,an是两两互质的。显然，a1,a2,L,an两两互质可以推出(a1,a2,L,an)=1，反之则不然，例如(2,6,15)=1，但(2,6)=2。定理1若a1,a2,L,an为任意n个不全为零的整数。则：(1)a1,a2,L,an与

22、a1

23、,

24、a2

25、,L,

26、an

27、的公因数相同；(2)(a1,a2,L,an)=(

28、a1

29、,

30、a2

31、,L,

32、an

33、)。（证明留给学生自己）由定理1可知，在讨论(a1,a2,L,an)时，不妨假设a1,a2,L,an是正整数，以后我们就维持这一假设。定理2若b是任一正整数，则：(1)0与b的公因数就是b的因数，反之，

34、b的因数也就是0与b的公因数；(2)（