2012西城高三数学一模答案

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1、北京市西城区2012年高三一模试卷数学（理科）参考答案及评分标准一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1.C；2.D；3.A；4.A；5.B；6.D；7.A；8.D.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9.；10.；11.；12.；13.和，；14.，.三、解答题：本大题共6小题，共80分.15.（本小题满分13分）（Ⅰ）解：原式可化为．………………3分因为，所以，所以．………………5分因为，所以．………………6分（Ⅱ）解：由余弦定理，得．………………8分因为，，所以．………10分因为，………………12分所以．

2、………………13分16.（本小题满分13分）（Ⅰ）解：由已知，甲、乙两名运动员在每一局比赛中获胜的概率都是．………………1分记“甲以比获胜”为事件，则．………………4分（Ⅱ）解：记“乙获胜且比赛局数多于局”为事件.因为，乙以比获胜的概率为，………………6分乙以比获胜的概率为，………………7分所以．………………8分（Ⅲ）解：设比赛的局数为，则的可能取值为．，………………9分，………………10分，………………11分．………………12分比赛局数的分布列为：………………13分17.（本小题满分14分）（Ⅰ）证明：设与相交于点，连结．因为四边形为

3、菱形，所以且为中点．………………1分又，所以．………3分因为，所以平面．………………4分（Ⅱ）证明：因为四边形与均为菱形，所以//，//，所以平面//平面．………………7分又平面，所以//平面．………………8分（Ⅲ）解：因为四边形为菱形，且，所以△为等边三角形．因为为中点，所以，故平面．由两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系．………………9分设．因为四边形为菱形，，则，所以，．所以．所以，．设平面的法向量为，则有所以取，得．………………12分易知平面的法向量为．………………13分由二面角是锐角，得．所以二面角的余弦值为．………………1

4、4分18.（本小题满分13分）（Ⅰ）解：当时，，．………………2分由于，，所以曲线在点处的切线方程是．………………4分（Ⅱ）解：，．………………6分①当时，令，解得．的单调递减区间为；单调递增区间为，．……………8分当时，令，解得，或．②当时，的单调递减区间为，；单调递增区间为，………………10分③当时，为常值函数，不存在单调区间．………………11分④当时，的单调递减区间为，；单调递增区间为，．………………13分19.（本小题满分14分）（Ⅰ）解：由，得.………………2分依题意△是等腰直角三角形，从而，故.………………4分所以椭圆的方程

5、是.………………5分（Ⅱ）解：设，，直线的方程为.将直线的方程与椭圆的方程联立，消去得.………………7分所以，.………………8分若平分，则直线，的倾斜角互补，所以.………………9分设，则有.将，代入上式，整理得，所以.……………12分将，代入上式，整理得.………13分由于上式对任意实数都成立，所以.综上，存在定点，使平分.………………14分20.（本小题满分13分）（Ⅰ）解：数列不能结束，各数列依次为；；；；；；…．从而以下重复出现，不会出现所有项均为的情形．………………2分数列能结束，各数列依次为；；；．………………3分（Ⅱ）解：经过

6、有限次“变换”后能够结束的充要条件是．………………4分若，则经过一次“变换”就得到数列，从而结束．……………5分当数列经过有限次“变换”后能够结束时，先证命题“若数列为常数列，则为常数列”．当时，数列．由数列为常数列得，解得，从而数列也为常数列．其它情形同理，得证．在数列经过有限次“变换”后结束时，得到数列(常数列)，由以上命题，它变换之前的数列也为常数列，可知数列也为常数列．………………8分所以，数列经过有限次“变换”后能够结束的充要条件是．（Ⅲ）证明：先证明引理：“数列的最大项一定不大于数列的最大项，其中”．证明：记数列中最大项为，

7、则．令，，其中．因为，所以，故，证毕．………………9分现将数列分为两类．第一类是没有为的项，或者为的项与最大项不相邻（规定首项与末项相邻），此时由引理可知，．第二类是含有为的项，且与最大项相邻，此时．下面证明第二类数列经过有限次“变换”，一定可以得到第一类数列．不妨令数列的第一项为，第二项最大()．（其它情形同理）①当数列中只有一项为时，若()，则，此数列各项均不为或含有项但与最大项不相邻，为第一类数列；若，则；此数列各项均不为或含有项但与最大项不相邻，为第一类数列；若()，则，此数列各项均不为，为第一类数列；若，则；；，此数列各项均不

8、为，为第一类数列．②当数列中有两项为时，若()，则，此数列各项均不为，为第一类数列；若()，则，，此数列各项均不为或含有项但与最大项不相邻，为第一类数列．③当数列中有三项为时，只能是，则，，，此数列各项均不