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1、2012年全国硕士研究生入学考试数学二试题一、单项选择题：每题4分，满分32分1.曲线的渐近线的条数为【】A.0;B.1;C.2;D.3.2.设函数，其中为正整数，则【】A．；B.;C.;D..3.设，，，则数列有界是数列收敛的【】A．充分必要条件；B.充分非必要条件；C.必要非充分条件；D.非充分也非必要条件.4.设,,则有【】（注意：网络给的题目错误！）A.;B.;C.;D..5.设函数是可微函数,且对任意的,,,则使不等式成立的一个充分条件是【】A．；B.；C.；D.；6.设区域由曲线,,围成,则【】A．；B.；C.；D..7.设，，，，其中为任意常数，则下列向量组线性相
2、关的是【】。A.;B.;C.;D..8.设为三阶矩阵，为三阶可逆矩阵，且.若,,则【】A.;B.;C.;D..二、填空题：每题4分，满分24分9.设是由方程所确定的隐函数,则.10..11.设,其中是可微函数,则.12.微分方程满足条件的解.13.曲线上曲率为的点的坐标是.14.设是三阶矩阵,,为的伴随矩阵,交换的第一行与第二行得矩阵,则.三、解答题:共94分15.（本题满分10分）已知函数，记（1）求的值；（2）当时，与是同阶的无穷小，求常数的值。16.(本题满分10分)求函数的极值（按答案复原的题目）.网上提供的题目：？17.(本题满分12分).过点作曲线的切线，切点为，又
3、与轴的交点为，区域由与直线围成，求区域的面积及绕轴旋转一周所得旋转体体积。18.(本题满分10分)计算二重积分，其中区域由曲线与极轴围成。19.(本题满分10分)若函数满足方程及，（1）求的表达式；（2）求曲线的拐点。20.(本题满分10分)证明：，．21.(本题满分10分)（1）证明方程，在区间内有且仅有一个实根；（2）记（1）中的实根为，证明存在，并求此极限。22.(本题满分11分)设,,(1)计算行列式;(2)当实数为何值时,方程组有无穷多组解,并求其通解.23.(本题满分11分)已知,二次型的秩为2,(1)求实数的值;(2)求正交变换将化为标准形.2012年全国硕士研究
4、生入学考试数学二试题参考解答一、单项选择题：每题4分，满分32分1.曲线的渐近线的条数为【】A.0;B.1;C.2;D.3.【解】,说明曲线有铅垂渐近线,,说明曲线有水平渐近线,曲线不存在斜渐近线,故选择答案C.2.设函数，其中为正整数，则【】A．；B.;C.;D..【解】用等价无穷小代换及导数的定义选择答案A.（注意：网络答案有大的计算错误！）3.设，，，则数列有界是数列收敛的【】A．充分必要条件；B.充分非必要条件；C.必要非充分条件；D.非充分也非必要条件.【解】由于，若数列有界，则有，说明有界是数列收敛的充分条件；但数列收敛，并不能推出有界，例如{}收敛，但数列无界。因
5、此选项应是B.（注意：网络给的答案或者题目错误！按其答案原题应是级数收敛）4.设,,则有【】（注意：网络给的题目！）A.;B.;C.;D..【解】利用变上限函数的求导法，，当时，，即是增函数，而，故。选择答案A.（注意：网络答案选择有误！）【的解答】设当时，与轴围成的面积为；当时，与轴围成的面积为；当时，与轴围成的面积为；则，，，，故，，，故。正确选项为D。5.设函数是可微函数,且对任意的,,,则使不等式成立的一个充分条件是【】A．；B.；C.；D.；【解】说明函数对变量是增函数,故需要；说明函数对变量是减函数，需要；选项应是A。6.设区域由曲线,,围成,则【】A．；B.；C.
6、；D..【解】利用奇函数的积分性质故选D7.设，，，，其中为任意常数，则下列向量组线性相关的是【】。A.;B.;C.;D..【解】由于，，，，故选C.8.设为三阶矩阵，为三阶可逆矩阵，且.若,,则【】A.;B.;C.;D..【解】由,,，所以.故选B.二、填空题：每题4分，满分24分9.设是由方程所确定的隐函数,则.【解】显然时，；方程对求导，得到，，，把，，代入得（注意：网络答案没有完成！）10..【解】由定积分的定义，知11.设,其中是可微函数,则.【解】，，12.微分方程满足条件的解.【解】方程变形为，即，故方程的通解为，条件代入，得，所求解为，即。也可变形为，这是关于未
7、知函数的一阶线性方程，然后用常数变易法13.曲线上曲率为的点的坐标是.【解】，，曲率，整理得，所以，但，故，此时，故所求点的坐标是。14.设是三阶矩阵,,为的伴随矩阵,交换的第一行与第二行得矩阵,则.【解】是三阶矩阵,,由知，，由行列式的性质，，所以。三、解答题:共94分15.（本题满分10分）已知函数，记（1）求的值；（2）当时，与是同阶的无穷小，求常数的值。【解】（1）。（2）当时，与是同阶的无穷小，即常数，利用（1）的计算，，是的同阶无穷小，故。16.(本题满分10分)求函数的极值（按
