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1、兰州大学2011级物理萃英班Logistic模型的研究Logistic模型是研究有限空间内生物种群数量演化的重要数学模型，因为Logistic模型能够将生物数量的增长受环境限制的因素考虑在内，所以由它衍生出的很多生态模型都在生态调查、人口预测等领域得到广泛应用。目录一维非线性迭代方程的性质研究分岔图与自相似性参数a对系统的影响稳定性周期性混沌性对系统混沌性的研究从迭代方程变为微分方程用解析法与数值计算法求解微分方程一维非线性迭代方程的性质研究一维Logistic模型可以用递推方程来表示，表示某一的种群第n代的数量。其中，参数a在（0,4）之间，的取值
2、在（0,1）之间。1、分岔图与自相似性通过Fortran语言编程可以很容易实现对上式得迭代计算，考虑到参数a对系统的影响，故先画出该系统以a为控制变量的分岔图。programdemo1integern,irealx0,x,a,hopen(10,file='x-a.txt')x0=0.5h=0.0001n=1000write(out,*)0,xdoa=0.1,4.001,hx=x0doi=1,n,1x=a*x*(1-x)write(10,*)a,xenddoenddoend1、分岔图与自相似性X0=0.5在每个分岔点处分岔图都会自动分型，且局部放大后的
3、图形与整体形状相似。2、参数a对系统的影响programdemo2realx,a;integerix=0.5；a=0.5open(10,file=’x-n’)doi=1,100,1x=a*x*(1-x)write(10,*)i,xenddoclose(10)end通过左边的代码画出不同a所对应的x-n曲线，发现a在一下不同区间时函数曲线的性状不同。2、参数a对系统的影响——稳定性，系统稳定，趋于零，系统处于稳定区2、参数a对系统的影响——周期性，振荡T=2，振荡T=42、参数a对系统的影响——周期性，振荡，周期倍增如图，a=3.5643时，T=82、
4、参数a对系统的影响——混沌性4，系统进入混沌状态周期为正无穷x取值出现随机性2、参数a对系统的影响——逃逸性，系统处于逃逸状态x的值趋于无穷大不能再用于描述生态系统例:a=4.5，x0=0.01,0.02,0.03…0.10注意：纵坐标为3、对系统混沌性的研究当4时，系统进入混沌状态多次迭代后x的取值具有随机性，经测试，随机数质量不高（x0=0.3，a=3.7，迭代100000次的平均值为0.66715，离0.5偏离了33.43%.）3、对系统混沌性的研究当4时，系统进入混沌状态多次迭代后x的取值具有随机性，经测试，随机数质量不高对初值具有敏感性先看
5、稳定区的情况令a=2,x0=0.1,0.3,0.5,0.7,0.9依次迭代5005次，输出的最后5次等于0.5000000，说明稳定区对初值不敏感3、对系统混沌性的研究对初值具有敏感性先看稳定区的情况——对初值不敏感再看混沌区的情况3、对系统混沌性的研究对初值具有敏感性先看稳定区的情况——对初值不敏感再看混沌区的情况——对初值非常敏感取a=3.85，结果见下表：0.110.120.130.140.150.96131660.13952850.14945670.15858940.14153040.14316980.46223220.48940950.51
6、373940.46777330.47228790.95700830.96206810.96177320.95850150.95954330.15840210.14049820.14154720.15313900.14945670.51324700.46492000.46781950.4992966从迭代方程变为微分方程x不连续，n只能取自然数常微分方程形式等价从迭代方程变为微分方程两边同减xn得：当时，从迭代方程变为微分方程令内禀增长率环境容纳量微分方程的求解1、分离变量法两边积分，利用初始值，解得：微分方程的求解1、分离变量法symstx1x2x3
7、x4t=0:0.001:12;x1=100./(1+(100/50-1)*exp(-0.7*t));x2=100./(1+(100/80-1)*exp(-0.7*t));x3=100./(1+(100/120-1)*exp(-0.7*t));x4=100./(1+(100/150-1)*exp(-0.7*t));y=100;plot(t,y,t,x1,t,x2,t,x3,t,x4)用Matlab作图，取N=100：微分方程的求解2、四阶Runge-Kutta算法programdemo4implicitnonereal*8x,x1,t,x0,hreal
8、*8k1,k2,k3,k4real*8,external::fx0=20h=0.001x=x0;t=0ope
