2.6函数模型及应用

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1、2.6函数模型及应用教学目标：1．知识与技能一次函数、二次函数模型及应用；指数函数、对数函数、幂函数三种模型在经济学、生物学、物理学等方面的广泛应用，掌握常见函数的实际应用。2．过程与方法通过实例体会在解决实际问题中，如何应用函数模型，如何建模这一过程。3．情感、态度与价值观增强数学建模能力，体会数学的实用价值；增强学生的数学思维，培养实际应用意识，感受常见基本函数的广泛应用，形成应用数学的意识，培养我们分析问题解决问题的能力。教学重点：用各种函数模型解决实际问题。教学难点：如何把实际问题转化成数学问题并采用合适的模型解决问题。教学过程：一、问题情境1．情

2、境：写出等腰三角形顶角（单位：度）与底角的函数关系。解：。2．问题：分析、说明函数的定义域是函数关系的重要组成部分。实际问题中的函数的定义域，不仅要使函数表达式有意义，而且要使实际问题有意义。归纳上述各个实例的共同特征，归纳出集合的含义．二、数学运用1．例题：例1、某计算机集团公司生产某种型号计算机的固定成本为200万元,生产每台计算机的可变成本为3000元,每台计算机的售价为5000元.分别写出总成本C(万元)、单位成本P（万元）、销售收入R（万元）以及利润L（万元）关于总产量（台）的函数关系式.解：总成本与总产量的关系为5C=200+0.3,.单位成本

3、与总产量的关系为.销售收入与总产量的关系为.利润与总产量的关系为．例2、在经济学中,函数的边际函数定义为=.某公司每月最多生产100台报警系统装置,生产台()的收入函数(单位:元),其成本函数为(单位:元),利润是收入与成本之差.(1)求利润函数及边际利润函数;(2)利润函数与边际利润函数是否具有相同的最大值?解：由题意知,,且.(1)==,=(2)==,当或时,的最大值为74120(元).因为=2480是减函数,所以当时,的最大值为2440(元).因此,利润函数与边际利润函数不具有相同的最大值.例3．5某医药研究所开发一种新药，如果成年人按规定的剂量服用

4、，据监测，服药后每毫升血液中的含药量（微克）与时间（小时）之间近似满足如图所示的曲线。（OA为线段，AB为某二次函数图象的一部分，O为原点）。（1）写出服药后与之间的函数关系式；（2）据进一步测定：每毫升血液中含药量不少于微克时，对治疗有效，求服药一次治疗疾病有效的时间。解：（1）由已知得（2）当时，，得；当时，，得，∴∴，∴，因此服药一次治疗疾病有效的时间约为3．5小时。例4．一辆汽车在某段路程中行驶速率与时间的关系如图所示。（1）求图中阴影部分的面积，并说明所求面积的实际含义；（2）假设这辆汽车的里程表在汽车行驶这段路程前的读数为2004，试建立行驶这

5、段路程时汽车里程表读数与时间的函数解析式，并作出相应的图象。1234520304050601070809012345解：（1）阴影部分的面积为5阴影部分的面积表示汽车在这5小时内行驶的路程为360。（2）根据图有图象（略）小结：解决实际问题的一般步骤：实际问题建立数学模型得到数学结果解决实际问题其中建立数学模型是关键，同时还要结合实际问题研究函数的定义域。三．练习：（1）今有一组实验数据如下：1．993．04．05．16．121．54．047．51218．01现准备用下列函数中的一个表示这些数据满足的规律，其中最接近的一个是（C）（）（）（）（）（2）大气

6、温度随着离开地面的高度增大而降低，到上空为止，大约每上升，气温降低，而在更高的上空气温却几乎没变（设地面温度为）。求：（1）与的函数关系；（2）以及处的气温。解：（1）由题意，时，，所以当时，5，从而当时，。综上，所求函数关系为；（2）由（1）知，处的气温为，处的气温为．四、课外作业：课本第84页第1、2、3、4、题、第88页第3、4题．5