数学作业(二)(立体几何、分布列)(参考答案)

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1、数学作业（二）（立体几何、分布列）（参考答案）班级姓名登分号成绩1．如图，在四棱锥中，底面是边长为1的菱形，，，，为的中点，为的中点．（Ⅰ）证明：直线；（Ⅱ）求异面直线与所成角的大小；（Ⅲ）求点到平面的距离．解：方法一（综合法）（1）取OB中点E，连接ME，NE又；（2），为异面直线与所成的角（或其补角）作连接，所以与所成角的大小为；（3）点A和点B到平面OCD的距离相等，连接OP，过点A作于点Q，又，线段AQ的长就是点A到平面OCD的距离，，所以点B到平面OCD的距离为．方法二（向量法）作于点P，如图，分别以AB，AP，AO所在直线

2、为轴建立坐标系，，（1）设平面OCD的法向量为，则即取，解得（2）设与所成的角为，，与所成角的大小为（3）同方法一2．如图，在四棱锥中，侧面⊥底面，侧棱=，底面为直角梯形，其中∥，⊥，，为中点．（1）求证：⊥平面；（2）求异面直线与所成角的余弦值；（3）求点到平面的距离．解：如图建立直角坐标系，A（0，-1，0），B（1，-1，0），C（1，0，0），D（0，1，0），P（0，0，1）（1），为中点，⊥，又侧面⊥底面，⊥平面（2）因为所以异面直线所成的角的余弦值为：；（3）利用等体积法设到平面的距离的距离为h则有，易得三角形PCD为等

3、边三角形，得到，．3．如图所示，、分别是圆、圆的直径，与两圆所在的平面都垂直，，是圆的直径，，．（I）求二面角的大小；（II）求直线与所成的角的余弦值．．证明：（Ⅰ）∵AD与两圆所在的平面均垂直，∴AD⊥AB，AD⊥AF，故∠BAD是二面角B—AD—F的平面角，依题意可知，ABCD是正方形，所以∠BAD＝450．即二面角B—AD—F的大小为450；（Ⅱ）以O为原点，BC、AF、OE所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系（如图所示），则O（0，0，0），A（0，，0），B（，0，0），D（0，，8），E（0，0，8），F（0，，0）所以，

4、设异面直线BD与EF所成角为，则．4．某批产品成箱包装，每箱5件．一用户在购进该批产品前先取出3箱，再从每箱中任意抽取2件产品进行检验．设取出的第一、二、三箱中分别有0件、1件、2件二等品，其余为一等品．（Ⅰ）用ξ表示抽检的6件产品中二等品的件数，求ξ的分布列及ξ的数学期望；（Ⅱ）若抽检的6件产品中有2件或2件以上二等品，用户就拒绝购买这批产品，求这批产品被用户拒绝的概率．解（1）,，，；所以的分布列为0123P的数学期望E（）=（2）这批产品被用户拒绝的概率是P（）=5．某班50位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图4所示，其中

5、成绩分组区间是：，，，，，．（1）求图中的值；（2）从成绩不低于80分的学生中随机选取2人，该2人中成绩在90分以上（含90分）的人数记为，求得数学期望．04050607080901000.0540.010.006频率组距成绩图4x解：（1）由得（2）由题意知道：不低于80分的学生有12人，90分以上的学生有3人随机变量的可能取值有0，1，2∴3．某企业准备投产一批特殊型号的产品，已知该种产品的成本与产量的函数关系式为该种产品的市场前景无法确定，有三种可能出现的情况，各种情形发生的概率及产品价格与产量的函数关系式如下表所示：市场情形概

6、率价格与产量的函数关系式好0．4中0．4差0．2设分别表示市场情形好、中、差时的利润，随机变量，表示当产量为而市场前景无法确定的利润．（I）分别求利润与产量的函数关系式；（II）当产量确定时，求期望；（III）试问产量取何值时，取得最大值．解:（Ⅰ）由题意可得L1=（q＞0）．同理可得（q＞0）（q＞0）（Ⅱ）由期望定义可知（Ⅲ）由（Ⅱ）可知是产量q的函数,设得0解得（舍去）．由题意及问题的实际意义（或当0＜q＜10时,＞0；当q＞10时,可知,当q=10时,f（q）取得最大值,即最大时的产量q为10．