国家集训队2002论文集 方奇

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1、IOI2002集训队浅谈必要条件的应用方奇浅谈必要条件的应用广东北江中学方奇【关键字】命题必要条件效率精确【摘要】必要条件是命题之间的一种逻辑关系。在解题过程中若能利用好必要条件，将有助于我们提高算法效率。针对必要条件，本文先阐述了其定义，然后结合其特点集中分析了它在解各类问题中的应用，指出利用必要条件关键在于“减少冗余，体现本质”。最后总结出一些寻找必要条件的经验。【正文】在现实生活中，许多问题错综复杂，体现在信息学问题上，就会导致我们难以从纷繁的条件关系中建立有效的数学模型进行求解。有时，准确地应用必

2、要条件，有助于我们揭示问题的本质或简化原有模型，从而找到高效的解决方法。下面，我们先来看看什么是必要条件。一必要条件的定义数学上，判断真假的语句叫做命题。常用小写拉丁字母p、q、r、s……来表示。如果由命题p经过推理可以得出命题q，也就是说，“如果p成立，那么q成立”，则记为p=>q一般地，如果已知p=>q，那么我们说，p是q的充分条件，q是p的必要条件。例如，“x2>0”是“x>0”的必要条件。在这里，“x2>0”的解集包含了“x>0”的解集。{x︱x>0}∈{x︱x2>0}。用文氏图表示：二必要条件的

3、应用在信息学问题中，必要条件有着广泛的应用，主要体现在下面两个方面。§1缩小求解范围第10页共10页IOI2002集训队浅谈必要条件的应用方奇大部分问题所要求解的往往是符合某一些条件的方案或具体数值。将这些条件命题记为p，其解集用A表示。回想我们的解题思路，当然不能一下就知道A的确切解，而总是通过已知条件q在较大的既定范围内B运用各种方法，如枚举、搜索、动态规划、贪心等等从中进行筛选，最终找到符合p的解集A。在这一过程中,B包括了A，A必也符合条件q,有p=>q，q是p的必要条件。我们从比较“宽松”的条件

4、q入手，在B中寻找A，使其满足比较“苛刻”的条件p。可以看到，开始界定的必要条件q的“宽松”程度，即B的范围大小直接影响着解决问题的效率。当q越逼近于p，B越趋近于A时，混合物中真金的含量比例越大，那我们要清除的沙子就会越少，效率自然也就越高了。可是，这必须建立在可行的基础上。因为，如果条件q在判断处理上难于实现或是要花费大量时间，那么无论q再怎么精确，都是毫无意义的了。于是，这就启发我们要在坚持“容易实现”这一原则下，尽力寻找“精确”的必要条件,以缩小求解范围，提高出解速度。[例1]问题描述已知二分图G

5、(V,E)，问哪些边是构成完备匹配所必须的。共2n个顶点，n≤100。问题分析设必须边的集合为A。当且仅当某边e被去掉后，子图g不存在完备匹配，则有e∈A。这可算是条件p。思考到这里，可以得到算法①枚举图G中所有边E对于某边e,在原图中去掉，g=G-e对g求最大匹配若不存在完备匹配，则表示e∈A，否则反之。用匈牙利算法求最大匹配，时间复杂度是O(n2)，枚举所有边需O(n2)。于是此算时间复杂度为O(n4)，过于庞大。在上述算法中，我们按照常规思路，一开始就不经意地把初始范围B设成全题边集E,必要条件q为

6、“满足是E中的边即可”。这样，便把求解的范围定大了。其实，若边e∈A,那么e必属于任意一个完备匹配中，这是显然的。换句话说，就是任意一个完备匹配都包含了所有必须边集A。于是，我们可以将算法①改进如下:算法②先求出G中的一个完备匹配，设为B枚举B中所有边E对于某边e,在原图中去掉，g=G-e对g求最大匹配若不存在完备匹配，则表示e∈A，否则反之。在算法②中，实际上是把初始范围B缩小为一个完备匹配，必要条件q精确为“边属于完备匹配B”。这么一来，时间复杂度下降为O(n3)第10页共10页IOI2002集训队浅

7、谈必要条件的应用方奇从[例1]中我们可以看到利用好必要条件，对于解这类存在性问题有很大帮助。其实，应用必要条件缩小求解范围，其巨大威力还是体现在搜索算法上。一般，搜索算法如深度优先、广度优先这类不带启发性的盲目搜索，时间复杂度往往是指数级的，根本无法忍受。于是搜索过程中如何限制其范围，减少搜索量变成了关键。在这里，使用必要条件剪去一些没有希望的搜索分支，便是俗称的“剪枝”。[例2]《移棋子》(Puzzle)GDOI98问题描述试题见附录问题分析这是一道典型的搜索题。根据题设，可知：⑴在有限步内把原始状态转

8、移至目标状态，或确定无解⑵移动步数已知⑶各个移动方向步数已知，但序列不知⑷解必须满足⑵和⑶限制采用深度优先搜索，逐一产生各种可能的移动序列，输出满足题设的即可。显然，上述全搜索在时间上令人无法忍受，我们可从以下几方面来剪枝：1各移动方向的数目由于各移动方向的数目是已知的，因此一旦某个移动方向的个数超出限制，则可不搜索此方向。2空格的位置和各方向的数目由于目前状态和目标状态都已知，各方向的数目也已知，因此可确定目前状态的空格能否