欧几里得之窗--从平行线到超空间的几何学故事Euclid'

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1、歐幾里得之窗--從平行線到超空間的幾何學故事Ｅｕｃｌｉｄ‘ｓ　Ｗｉｎｄｏｗ：Ｔｈｅ　Ｓｔｏｒｙ　ｏｆ　Ｇｅｏｍｅｔｒｙ　ｆｒｏｍ　Ｐａｒａｌｌｅｌ　ＬｉｎｅｓｔｏＨｙｐｅｒｓｐａｃｅ兩千四百年前，亞里斯多德站在海濱，觀察到:好像所有的船隻都是船身先消失，然後才是桅杆和船帆。但是：在平坦的地表上，船隻應該會先愈變愈小，最後才縮小成一點消失在視線之外，難道不是這樣嗎？推論：地球表面應該是彎曲的。透過幾何之窗，人們可以觀察到整顆地球的龐大結構。數個世紀以來，在許多天才人物與幾何學的協助下，人類得以向邊際以外的地方凝視。Ｑ：如何證明空間中的任何事物？Ｑ：我們怎麼曉得自己身在何處？

2、Ｑ：空間是彎曲的嗎？Ｑ：這個世界有多少個維度　（dimensions）？Ｑ：幾何學該如何解釋宇宙的秩序和一統性？上述疑問孕育出世界歷史中五次革命性的幾何變革。第一部分空間是什麼？幾何學如何開始成為描述宇宙的工具？引領人們進入現代文明。空間觀念演進的第一次革命-----抽象化觀念的誕生與證明的構想。空間的概念始於位置的概念，源自埃及人與巴比倫人所稱的「大地測量」，希臘文是geometry。希臘人首先從對石塊與砂礫的簡單敍述開始發展幾何學，抽離出點、線、面的觀念。早在歷史記載以前，人類便已發展出數數、計算、課稅。1960年中非薩伊Ishango出土的一根距今八千年的小骨頭，一端嵌

3、有一小片石英，骨頭另一端切割出三道刻痕，這可能是最早出現的一種數量記錄工具。運算概念的發展較慢，得植基於一定程度的數字抽象觀念。兩個蘋菓－＞2兩個柳丁－＞22=2?2+2=4?抽象化觀念的演進，大約成形於西元前6000年，每年六月，尼羅河水開始暴漲，漫過河床，為四周鄉野鋪上一層肥沃的泥土。十月河水退卻乾涸，到次年雨季前，連續八個月的乾季則可分成耕耘季和收成季。農業生活成為埃及曆法與埃及人生活的基礎。到了西元前3500年，埃及的工藝與鑄鐵等小型工業已經十分精通，文字與書寫亦已發展出來。因為徵稅的緣故，發展出幾何學。理論上，法老王擁有全部的土地和財產，政府根據每年河水氾濫的高度和

4、人民持有土地面積來計算地稅。因此，埃及人發明了一種雖然麻煩，但頗為精準的面積計算方式，適用於正方形、長方形和梯形。若要計算圓面積，埃及人利用邊長等於直徑8/9的正方形來估算。換句話說，他們以256/81（或3.16）代替π值。（誤差約為百分之0.6）金字塔的建造想像在西元前2580年，你要建造一座，底部方形，各面呈三角，高度約146公尺的金字塔。由每塊重量超過兩公噸的巨石堆疊而成，而可用的測量工具只有木頭和繩子。「拉繩夫」直角三角形的斜邊hypotenuse，希臘文為「用力拉緊」之意。西元前2000年到1700年間，波斯灣以北的非閃族民族，併吞鄰族，建立巴比倫帝國。其數學系統

5、，比埃及人複雜得多。埃及數學蘭德(Rhind)紙莎草手卷與莫斯科紙莎草手卷(MoscowPapyrus)年代約中國夏商之交。長各六公尺，上頭記載了數十至上百道例題，包括四則、分數、比例、簡單幾何體的面積和體積計算等。巴比倫數學亞述地區出土的幾百座泥版，內容有參考用的數表、教科書，及其他關於巴比倫數學思考的材料。巴比倫的工程師在挖掘運河前，計算運河的梯形橫截面面積，計算需移走的土壤量，需多少人力工時才能完成整個工程。巴比倫的金融借貸採用甚至是複利制。巴比倫人未發明方程式，所有計算都表述成文字敘述。＜目前已知最早使用加號的文件為1481年的日耳曼手稿＞巴比倫人與埃及人應該都已

6、經知道畢達哥拉斯定理(Pythagoreantheorem)。巴比倫人記載的三數組有「3、4、5」、「5、12、13」、…「3456、3367、4825」、…可推斷:巴比倫人至少具備初等數論的能力。雖然，埃及人和巴比倫人都曉得畢氏定理，郤都沒見到一般式a2+b2=c2。因此，對他們來說，斜邊邊長到底是一個精確數目還是一個約略的估計呢？古希臘人對下列問題頭痛不已：假設一正方形邊長為一單位，對角線有多長？埃及人和巴比倫人並不以為意。採用六十進位制的巴比倫人計算至第三位數，換算至十進位為1.4142129。畢達哥拉斯時代的希臘人明白此數無法寫成整數或小數。出生約於西元前640年的泰利

7、斯，幾乎是全世界公認最早的科學家或數學家。他經商致富，對知識有著無限的渴望，遊歷巴比倫，學習天文科學與數學，將這些知識傳回希臘。他成功地預測西元前585年的日蝕。埃及人擁有建造金字塔的專門技術，卻不知道如何測量金字塔的高度。泰利斯利用經驗事實推導出初等幾何原理，運用相似三角形的性質向埃及人示範金字塔高度的測量與計算，也利用類似的方法測量船隻在海上的距離。希臘人尊稱泰利斯為「七位聖哲」之一，認為他們是全世界最有智慧的七個人。泰利斯為幾何學的系統化工作踏出了第一步。他首先證明了幾世紀