概率论：23随机变量的函数及其分布

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1、第二章第三节随机变量的函数及其分布(1)一维随机变量的函数的分布一、离散型随机变量的函数的分布二、连续型随机变量的函数的分布三、内容小结一、离散型随机变量的函数的分布设f(x)是定义在随机变量X的一切可能值x的集合上的函数,若随机变量Y随着X取值x的值而取yf(x)的值,则称随机变量Y为随机变量X的函数,记作Yf(X).问题如何根据已知的随机变量X的分布求得随机变量Yf(X)的分布?例1设X的分布律为X10121111p44442求YX的分布律.2222解Y的可能值为(1),0,1,2;即0,1,4.12P{Y0}P{X0}P{X0},42P{Y

2、1}P{X1}P{(X1)(X1)}111P{X1}P{X1},44212P{Y4}P{X4}P{X2},4Y014故Y的分布律为111p424由此归纳出离散型随机变量函数的分布的求法.离散型随机变量的函数的分布如果X是离散型随机变量,其函数Yf(X)也是离散型随机变量.若X的分布律为Xxxx12kpkp1p2pk则Yf(X)的分布律为Yf(X)f(x)f(x)f(x)12kpkp1p2pk若f(x)中有值相同的,应将相应的p合并.kkX112例2设123pk6662求YX5的分布律.2解Y的Y分

3、布X律为5441X112Y41123pk1+1p66622二、连续型随机变量的函数的分布设X是连续型随机变量,Yf(X)1.分布函数法先求:F(y)Y再求:p(y)F(y).YY例3设随机变量X的概率密度为x,0x4,pX(x)80,其它.求随机变量Y2X8的概率密度.解1º先求Y=2X+8的分布函数F(y).YF(y)P{Yy}P{2X8y}Yy8y8P{X}2p(x)dxX22º由分布函数求概率密度.y8pY(y)FY(y)[2p(x)dx]Xy8y8y81p()()p()

4、XX2222xy81,0x4,pY(y)pX()pX(x)8220,其它.1y81y8(),04,82220,其它.y8,8y16,320,其它.2.公式法定理(例2.18)设随机变量X的具有概率密度p(x),其中x.又设函数f(x)在(a,b)上X可导,且恒有f(x)0(或恒有f(x)0),则Yf(X)是连续型随机变量,其概率密度为p[f1(y)][f1(y)],yp(y)XY0，其他11其中f(y)是f(x)的反函数,(,)是f(y)的定义域，[

5、f1(y)],当f(x)0时1[f(y)]1[f(y)],当f(x)0时证若f(x)0,则yf(x)单调增加，且其反函数1xf(y)在(,)上单调增加.当y时，FY(y)P{Yy}0;当y时，F(y)P{Yy}1;YdF(y)p(y)Y0.Ydy当y时，FY(y)P{Yy}F(y)P{Yy}YP{Y}P{Yy}0P{Yy}于是F(y)P{Yy}(y)Y1P{Xf(y)}1f(y)p(x)dxX1f(y)F(y)p(x)dx(

6、y)YX当y时，dF(y)p(y)YYdy1df(y)[p(x)dx]Xdy11p[f(y)][f(y)]X对于f(x)0的情形可作类似的证明.2例4设随机变量X~N(μ,σ),试证明X的线性函数YaXb(a0)也服从正态分布.证X的概率密度为2(xμ)12p(x)e2σ,x.X2σ设yf(x)axb,1yb11得xf(y),知[f(y)]0.aa11由公式p(y)p[f(y)][f(y)]YX得YaXb的概率密度为1ybybp(y)p(),.Y

7、Xaaayb2(μ)a112σ2得YaXbea2σ~N(aμb,(aσ)2)2[y(baμ)]12(aσ)2e,y.aσ2π例5设X~U(0,1),求YeX的分布密度.解X~U(0,1)X的分布密度为1,x(0,1)pX(x)0,x(0,1)方法1(公式法)yex在(,)上可导，单调增加xf1(y)lny,11[f(y)]yp[f1(y)][f1(y)],0ypY(y)X0，其他1[f1(y)],0f1(y)10,其