极限存在准则和两个重要极限(II)

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1、7/14/20215:23PM§2.5极限存在准则和两个重要极限1.极限存在的准则2.两个重要极限7/14/20215:23PM1.极限存在的准则【定理】（准则１又称夹逼准则）证因为所以从某一时刻以后，恒成立，第2章极限与连续若在某一变化过程中，系　　　　，三个变量　　　总有关且　　　　　　　，则下列两个不等式即7/14/20215:23PM所以也就是证毕。例1证明证当　　　时，由再根据准则1，得证毕。第2章极限与连续即又由得7/14/20215:23PM例2证明证由　　　　和准则1，即证毕。第2章极限与连续得7/14/20215:23PM例3求解利

2、用夹逼准则且第2章极限与连续所以7/14/20215:23PM【定义】单调数列设数列若对如何正整数　，称数列　为单调增加数列；若对如何正整数　，称数列　为单调减少数列。第2章极限与连续恒有恒有单调增加数列单调减少数列单调数列7/14/20215:23PM【定理】（准则2）单调有界数列必有【定义】有界数列若存在两个常数　和　　　　　，例数列　　　　　是单调增加的数列，且　　　　，第2章极限与连续意正整数　，为有界数列。使对任恒有则称数列极限。（证明略）则此数列有极限，7/14/20215:23PM几何解释说明在准则2中第2章极限与连续对单调减少数列，只

3、要求有下界即可。对单调增加数列，只要求有上界即可；7/14/20215:23PM第2章极限与连续7/14/20215:23PM2.两个重要极限证当圆心角　　　　时，△AOB的面积＜圆扇形AOB的面积＜△AOD的面积即第2章极限与连续7/14/20215:23PM证毕。得到是偶函数例4计算解第2章极限与连续7/14/20215:23PM例5计算解例6计算解第2章极限与连续7/14/20215:23PM证先证数列的情况，第2章极限与连续利用二项式定理7/14/20215:23PM第2章极限与连续7/14/20215:23PM比较可知又根据准则2可知数列　

4、有极限。第2章极限与连续7/14/20215:23PM记此极限为e，e为无理数，其值为再证当　　　　时，第2章极限与连续即设7/14/20215:23PM而故第2章极限与连续7/14/20215:23PM故当　　　　时，综合两式得第2章极限与连续令则7/14/20215:23PM若在极限　　　　　　中，得极限的另一种形式第2章极限与连续令这种数学模型在实际中非常有用，“银行计算复利问题”。例如设本金为　，利率为　，期数为　，如果每期结算一次，则本利和　为7/14/20215:23PM例7计算解第2章极限与连续如果每期结算　次，期本利和　为若立即产生立

5、即结算，即　　　。7/14/20215:23PM例8计算解第2章极限与连续7/14/20215:23PM内容小结2.两个重要极限（重要的是形式）1.极限存在的准则夹逼准则单调有界数列必有极限中是相同的变量第2章极限与连续7/14/20215:23PM备用题1.填空题第2章极限与连续7/14/20215:23PM2.填空题（2006）解（2005）解第2章极限与连续7/14/20215:23PM3.计算解因为故第2章极限与连续和差化积公式7/14/20215:23PM4.证明证利用夹逼准则且所以证毕第2章极限与连续7/14/20215:23PM5.设求

6、解利用极限存在的准则所以数列单调递减有下界，第2章极限与连续且故极限存在。7/14/20215:23PM故第2章极限与连续则由递推公式有设