因式分解相关知识点整理【竞赛专用】

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1、因式分解相关知识点整理【竞赛专用】1.因式分解的思路：“一提、二代、三分组”2.常用公式：22[1]a−b=(a+b)(a−b)222[2](a±b)=a±2ab+b3322[3]a±b=(a±b)(a∓ab+b)33223[4](a±b)=a±3ab+3ab±bnnn−1n−2n−32n−2n−1[5]若n为正奇数，则a+b=(a+b)(a−ab+ab−…−ab+b)nnn−1n−2n−32n−2n−1[6]若n为正整数，则a−b=(a−b)(a+ab+ab+…+ab+b)应用公式时，按某个字母降幂排列是一个简单而有用的措施，值得注意。3.常用分组方法（注意：每组

2、项数须平均分配）：（1）按不同字母分组（2）b.按不同字母的幂分组（幂次相近的放在一起）（3）按不同项的系数分组注：当分组不当，无法继续分解原式时，就应回到分组前的状况4.拆项与添项（1）若整式按某一字母的升幂或降幂排列，那么以拆开中项为宜。（2）可以配完全平方（配方法）225.十字相乘法（二次齐次式ax+bxy+cy也可用此法分解，令y=1代入原式即可）ax+c例子：×bx+dx+2×x+3adx+cdabx2+bcx3x+62x+2x2abx+(ad+bc)x+cd2x+5x+6将以上竖式简化，就可以得到十字相乘法的竖式：ac1+2bd1+3ab+bc5补充一个

3、结论：22若二次三项式ax+bx+c的系数和a+b+c=0，则ax+bx+c=(x−1)(ax−c)第1页-2008.09-v1.01226.双十字相乘法（应用于形如ax+bxy+cy+dy+ey+f的二元二次式，或者是形如222ax+bxy+cy+dxz+eyz+fz的三元齐次式.）把其中三组二元三项式或二元齐次式分别用十字相乘法来分解，如果其中两组包含相同字母的分解式所得到的数字一样.且另外两个不同字母的结果符合某一项的系数的话，分解式的系数就为第一行的三个数和第二行的三个数，直接代入原式即可.7.换元法（略）8.余数定理（x、y的齐次式也可以采用同样的方法）n

4、n−1f(x)=ax+ax+…+ax+ann−110如果f(c)=0，那么(x−c)是f(x)的因式，反过来，如果(x−c)是f(x)的因式，那么f(c)=0.（证明过程略）p注：有理根c=的分子p是常数项a的因数，分母q是首项系数a的因数.0nq如果整系数多项式f(x)的系数为1.q=1，有理根都是整数根.补充三个重要结论：（1）若多项式的系数和等于0，那么1是它的根，即(x−1)是它的一次因式.（2）若多项式的偶次项系数的和减去奇次项系数的和等于0，那么-1是它的根，即(x+1)是它的一次因式.（3）若多项式可以分解为几个有理数系数的积，则其一定能分解为几个整系

5、数的多项式的积.9.待定系数法设待定系数，通过比较系数得出方程组，利用系数为整数的条件求解即可.10.轮换式与对称式两个轮换式（对称式）的和、差、积、商仍然是轮换式（对称式）.基本轮换式一次齐次轮换式：l(x+y+z)222二次齐次轮换式：l(x+y+z)+m(xy+yz+zx)333222222三次齐次轮换式：l(x+y+z)+m(xy+yz+zx)+m(xy+yz+zx)+kxyz这里，l、m、n、k都是待定常数第2页-2008.09-v1.01补充两个常用公式：333222（1）a+b+c−3abc=(a+b+c)(a+b+c−ab−bc−ca)3331222

6、（2）a+b+c−3abc=(a+b+c)[(a−b)+(b−c)+(c−a))2333（3）当a+b+c=0时，a+b+c=3abc11.实数集与复数集内的分解（1）利用二次方程求根公式来分解二次三项式.nn−1（2）代数基本定理：在复数集内，对于多项式f(x)=ax+ax+…+ax+a（nnn−110是正整数），一定有复数c使得f(c)=0.（3）实系数多项式的虚数根是两两共轭的.因而，在实数集内每个多项式都可以分解为一次因式与二次因式的积.−1−3iω=322（4）1的立方虚根2，并且ω=1，1+ω=−ω，1+ω=−ω（可将x=ω代入多项式，求得因式）（5）单

7、位根：一般地，在复数集内有n个n次单位根，它们是2kπ2kπ2nπ2nπcos+isin(k=1,2,…,n)，其中cos+isin=1nnnn2kπ2kπ如果k与n互质，则cos+isin称为本原单位根.nn（6）分圆多项式：与n次本原单位根对应的一次因式的积的整系数的多项式.分圆多项式在有理数集内不可约的.12.既约多项式相关知识（1）艾森斯坦（Eisenstein，1823~1852）判别法nn−1设f(x)=ax+ax+…+ax+a是整系数多项式nn−110如果存在一个质数p满足以下条件：1.p不整除a；n2.p整除其余的系数（a,a,…,a）；01n−