有理函数的积分(III)

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1、1§4.4有理函数的积分有理函数的积分可化为有理函数的积分举例rationalfunction2基本积分法:换元积分法;分部积分法初等函数求导初等函数积分例如,下列函数积分都不是初等函数直接积分法;在概率论、数论、光学、傅里叶分析等领域有重要应用的积分,都属于“积不出”的范围.3有理函数的定义两个多项式的商表示的函数称之.一、有理函数的积分假定分子与分母之间没有公因式真分式;假分式.nnnaxaxa+++-L110mmmbxbxb+++-L1104例多项式的积分容易计算.真分式的积分.只讨论:多项式真分式有理函数相除多项式

2、+真分式分解若干部分分式之和5对一般有理真分式的积分,代数学中下述定理起着关键性的作用.定理6部分分式(最简分式).7用此定理有理函数的积分就易计算了.且由下面的例题可看出:有理函数的积分是初等函数.注系数的确定,一般有三种方法:(1)等式两边同次幂系数相等;(2)赋值;(3)求导与赋值结合使用.有理函数的积分8例求解由多项式除法,有说明:当被积函数是假分式时,应把它分为一个多项式和一个真分式,分别积分.假分式有理函数的积分9例求解比较系数因式分解有理函数的积分10有理函数的积分11代入特殊值来确定系数取取取并将值代入例求

3、解(1)(1)赋值12于是13例求解比较系数二次质因式1415注任意有理真分式的不定积分都归纳为下列其中A,B,a,p,q都为常数,分别讨论上述几种类型的不定积分.并设四种典型部分分式的积分之和.n为大于1的正整数.16有理函数的积分17181920用递推公式有理函数的积分21应重点提高计算的(1)部分分式法;此法一般运算较繁.(2)拆项法;(分项积分法)(3)换元法;(4)配方法.有理函数积分是三角函数有理式积分、无理函数积分的基础,熟练程度和技巧,一般有以下方法:有理函数的积分22例求分析解原式=分项凑微分从理论上看,

4、可用部分分式法,但计算复杂,故不宜轻易使用,应尽量考虑其它方法.约去公因子配方23例求解原式=这是有理函数的积分.如按部分分式法很麻烦.使分母为单项,作变换分析分母是100次多项式,如作一个适当的变换,而分子为多项,除一下,化为和差的积分.24或分项òòò-+---=1009998)1(d)1(d2)1(dxxxxxx25技巧例求解原式=21C+26例求解是二次质因式,原式=递推公式法一不能再分解.27求解原式=回代递推公式法二28提示：解例分母是二次质因式的真分式的不定积分29三角有理式的定义：由三角函数和常数经过有限次

5、四则运算构成的函数称之.一般记为如二、可化为有理函数的积分举例1.三角函数有理式的积分和分部积分法讨论过一些.对于三角函数有理式的积分,曾用换元法是否任何一个三角函数有理式的积分都有原函数回答是肯定的.?30由三角学知识可通过变换事实上,由半角变换(或称万能代换）则表示.化为有理函数的积分.31u的有理函数32提示：解例33说明：并非所有的三角函数有理式的积分都要通过上述代换化为有理函数的积分.因为这种代换不一定是最简捷的代换.请看如下积分:34例求解法一回代35法二不用万能代换公式比较以上两种解法,便知万能代换不一定是最

6、佳方法,故三角有理式的计算中先考虑其它手段,不得已才用万能代换.结论36(1)尽量使分母简单.基本思路或分子分母同乘以某个因子,把分母化为的单项式,或将分母整个看成一项.(2)尽量使的幂降低.用倍角公式或积化和差公式以达目的.为此常利有理函数的积分37类型解决方法作代换去掉根号.通常先将配方,再用三角变换化为三角函数有理式的积分或直接利用积分公式计算.2.简单无理函数的积分38无理函数的积分一般采用第二类换元法把根号消去.解简单无理函数的积分例39解无理函数的积分一般采用第二类换元法把根号消去.简单无理函数的积分例设即x

7、u32则40解无理函数的积分一般采用第二类换元法把根号消去.简单无理函数的积分例设xt6于是dx6t5dt从而41回代例解令原式=42例求解先将无理函数的分子或分母有理化.分析原式43练习1993年考研数学一,5分解令分部积分回代44练习解法一三角代换法二倒代换452.简单无理式的积分.有理式分解成部分分式之和的积分.（注意：必须化成真分式）1.三角有理式的积分.（万能代换公式）（注意：万能公式并不是最佳代换）有理函数的积分三、小结可化为有理式的积分.46第五节积分计算比导数计算灵活复杂,为提高求积分已把常用

8、积分公式汇集成表,以备查用.如P362附录Ⅲ.积分表的结构:按被积函数类型排列积分表的使用:1)注意公式的条件2)注意简单变形的技巧注:很多不定积分也可通过Mathematica,Maple等数学软件的符号演算功能求得.的效率,积分表的使用第四章47例1.求解:应使用P368公式105.48例2.求解法