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1、蕴秀斋2015年第56届IMO解答1、S是平面上有限个点组成的集合,如果对于其中任意两个不同的点A,B,都有一个S中的点C,使得CACB,则称S是平衡的。如果对于S中任意三个不同的点A,,BC,S中没有一个点到A,,BC的距离都相同,则称S是非中心的。㈠求证:对于任意整数n3,都存在一个恰有n个点的平衡集合。㈡对于哪些正整数n3,存在一个恰有n个点的非中心的平衡集合?(荷兰)㈠证明:①n3时,我们取一个单位圆O,在单位圆上取两个点A,B,使得AB1,则SO,,AB满足要求;3②n4时,我们取一个单位圆O,
2、在单位圆上取三个点A,,BC,使得ABBC1,则SO,,,ABC满足要求;4③假设对于n5,并且存在n2个点组成的平衡集合S,使得其中OS,另n2n2外的n3个点在以O为圆心的单位圆上。由于单位圆O上有无穷多对点距离为1,因此可在单位圆O上取两个X,YS,使n2得XY1,则SSXY,是n个点的平衡集合。nn2因此,对于任意整数n3,都存在一个恰有n个点的平衡集合。㈡①若n是大于1的奇数,我们可以取一个正n边形的n个顶点为S,则S是一个非中心的平衡集合。②设nk2,其中k2,假设存
3、在一个恰有n个点的非中心的平衡集合S。以下描述中所有的点都属于S,令PA,,BXXAXB,AB,由于不存在21k不同于A,B的C满足XCXAXB,因此每个点X在P中最多出现k1次,2所以Pkkkk2(1)(22)。2另一方面,每对A,B在P中至少出现一次,因此PCkk(21),矛盾。2k综上所述,当且仅当n3是奇数时,存在n个点的非中心的平衡集合。(此题全场平均4.307分,满分265/577人,中国队此题满分)上善若水蕴秀斋2、求所有正整数组(,,)abc,使
4、得abcbcacab,,都是2的幂。(塞尔维亚)解:不失一般性,假设abc。由于abc0,所以a1。㈠若c2,则只能有abc2,检验可知是一个解。㈡以下设c3。2①若ab,则acac,(1)是2的幂,因此ac,1都是2的幂,令ac2,12,222则,1,ac221是2的幂,只能有2211,因此1,1,所以ba2,c3,检验可知是一个解。2②若bc,则caca,(1)是2的幂,因此ca,1都是2的幂,令ca2,12,22
5、则,并且12cca21是2的幂,因此0,代入可得1,因此c2,矛盾。③以下可设abc。设bca2,acb2,则有22(1cba)()0,因此,所以2(1)(cba),也有222(1)(cab)。cc1,1中至少有一个不是4的倍数,因此22(ba),或者22(ab)。所以总是有acb22()ab,因此23abaca(1b),所以aba34bb,因此a3。a)若a2,则22bc2,因此2bc,所
6、以bc,一奇一偶。若b是奇数,c是偶数,由22cb可知0,因此21cb2b,矛盾。因此b是偶数,c是奇数,则由22bc可知0,因此21bc,所以112221222122cbb32,因此b,故c,所以22,3333212整理可得9222216,因此29216(*)。5时,由(*)可得4,因此b6,c11,检验可知满足要求。若14,由于b2是整数,因此322,所以2是偶数,由于ba2,54因此
7、2,由(*)只可能有4,代入(*)只可能有4,但是29216(*),矛盾。上善若水蕴秀斋b)若a3,则23bc2,32cb,32bc,因此bc,都是奇数,由于3333abc,所以b5,c7。由上式解得c232,b322。由于23cbc2216,所以4,由于c为奇数,因此只能有3,33c132,b32。代入可得33263242bc313232332102
8、23254因此325是2的幂,因此只能有4,所以c7,b5,检验可知满足要求。综上所述,(,,)(2,2,2),(2,2,3),(2,6,11),(3,5,7)abc以及它们的轮换是全部解。(此题全场平均1.359分,满分31人,中国队此题7、7、7、7、6、2分)上善若水蕴秀
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