数学规划法在结构优化设计中应用

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1、结构优化设计南京航空航天大学102教研室第三章数学规划法3.1数学规划问题的分类及解法I.数学规划问题的一般提法是：寻找一组设计变量变X={X1,X2,X3,……,Xn}T使得f(x)mins.t.gi(X)0i=1,2,……,mge(X)=0e=1,2,……,n其中,X----设计变量f(x)----目标函数gi(X)和ge(X)----约束条件(1)按约束的有无，可分为：无约束最优化问题有约束最优化问题准无约束最优化问题II.数学规划问题的分类线性规划非线性规划如果目标函数与约束函数都是凸函数，则称为凸规划如果目标函数是二次函数而约束函数是一次函数，则称为二次规

2、划如果设计变量只允许取整数，则称为整数规划如果在目标函数和约束函数中包含具有随机性质的参数则称为随机规划(2)按目标函数和约束函数是否为线性，可分为：对于线性规划问题，单纯形法十分有效无约束非线性规划问题不利用梯度的算法：0.618法、单纯形法、Powell法和随机搜索法利用梯度的算法：最速下降法、共轭梯度法、牛顿法、拟牛顿法有约束非线性规划问题转化法：内罚函数法、外罚函数法直接法：可行方向法、最佳矢量法、梯度投影法序列近似规划法：序列二次规划方法、序列线性规划方法III.数学规划问题的求解IV.无约束优化问题的基本下降算法原问题：minf(x)x={x1,x2,x3,…

3、…,xn}T(1)求解其最优化的必要条件：▽f(x*)=0(2)但是式(2)是一个非线性方程组，与求解原问题同样困难。在数学规划法中，是用迭代下降的算法找到极小值点。即先假定一个初始设计x(0),然后在第k次迭代(k=0,1,2,…),用x(k+1)代替x(k)，要求x(k+1)比x(k)更接近最优解。对于无约束优化问题，也就是要求目标函数有所下降，即f(x(k+1))

4、下降要求可以改写成：f(x(k)+P(k))0这说明搜索方向应该和目标函数负梯度方向夹角小于90，这样的方向称之为下山方向。基本的下降算法：令k=0,给定初始解x(0)；*求搜索方向P(k),使▽Tf(x(k))P(k)<0；*求搜索步长(k)，要求f(x(k)+(k)P(k))=minf(x(k)+P(k))修改x(k+1)=x

5、(k)+(k)P(k)检查收敛原则，不满足时令k=k+1,返回2)；满足则停机。一维搜索确定步长步长(k)的决定方式常常是使目标函数在x(k+1)点上达到沿P(k)方向最小，即要求：因此，如果定义一个一元函数φ():φ()=f(x(k)+P(k))决定(k)方法就是估计φ的极小值，即φ()至少近似满足：φ’()=0这个方程是一个非线性方程，要用到一维搜索方法才能确定步长，因此一维搜索对于提高下降算法非常重要。一维搜索算法0.618法Newton法割线法抛物线法三次插值法确定搜索方向的算法最速下降法Newton法共轭梯度法拟Newton法（变尺度法）Powe

6、ll法Ｖ.停止迭代准则梯度的长度已经充分小，即｜▽f(x(k))｜≤ε,ε>0它意味最优化必要条件已经以足够的精度得到满足。前后两次迭代所得的设计点之间的距离小于指定的小量ε前后两次迭代目标函数值下降的相对值已经足够小工程结构优化时常采用固定的迭代次数作为停止迭代准则3.2一维搜索方法一维搜索方法是数学规划方法的一种基本方法，也是其它优化方法的一种中间手段i.0.618法0.618法的基本思想是通过取试探点和进行函数值比较，使包含极小点的搜索区间不断缩短，从而各点可以看作为极小点的近似。这类方法仅需计算函数值，用途广泛，尤其适用于非光滑函数形式。ii.插值法插值法是一类重

7、要的一维搜索方法。其基本思想是在搜索区间中不断用低次（通常不超过三次）多项式来近似目标函数，并逐渐用插值多项式的极小点来逼近一维搜索问题。当函数具体比较好的解析性质时，插值法比直接方法效果更好。一点二次插值法（牛顿法）二点二次插值法I二点二次插值法II（割线法）不同搜索方法比较连续性收敛性适用范围0.618法0阶0.618最优点在所选区间中牛顿法2阶2靠近最优点二点二次插值法1阶1.618靠近最优点割线法1阶1.618靠近最优点3.3确定搜索方向的算法i.最速下降法前面已经知道，目标函数沿负梯度方向下降最快，因此取负梯度方向为