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《数学物理方法2011傅里叶变换》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、在数学的天地里,重要的不是我们知道什么,而是我们怎么知道什么.-毕达哥拉斯第五章傅里叶变换在自然科学和工程技术中为了把较复杂的运算转化为较简单的运算，人们常采用变换的方法来达到目的．例如在初等数学中，数量的乘积和商可以通过对数变换化为较简单的加法和减法运算．在工程数学里积分变换能够将分析运算（如微分、积分）转化为代数运算，正是积分变换的这一特性，使得它在微分方程、偏微分方程的求解中成为重要的方法之一．积分变换在现代光学、无线电技术以及信号处理等方面，作为一种研究工具发挥着十分重要的作用．所谓积分变换，就是把某函数类A中的任意一个函数，经过某种可逆的积分方法
2、（即为通过含参变量的积分）变为另一函数类B中的函数这里是一个确定的二元函数，通常称为该积分变换的核．称为的像函数或简称为像，称为的原函数．在这样的积分变换下，微分运算可变为乘法运算，原来的；原来的常微分方程可以变为像函数的代数方程，从而容易在偏微分方程可以减少自变量的个数，变成像函数的常微分方程A中所求的解，而且是显式解．像函数类B中找到解的像；再经过逆变换，便可以得到原来要在另外需要说明的是，当选取不同的积分区域和核函数时，就得到不同名称的积分变换:（1）特别当核函数（注意已将积分参变量改写为变量），当，则称函数为函数的傅里叶（Fourier）变换，简称
3、为函数的傅氏变换．同时我们称为的傅里叶逆变换．（2）特别当核函数（注意已将积分参变量改写为变量），当，则称函数为函数的拉普拉斯(Laplace)变换，简称为函数的拉氏变换．同时我们称为的拉氏逆变换．1807年12月21日，Fourier向法国科学院宣布：任意的周期函数都能展开成正弦及余弦的无穷级数。当时整个科学院，包括拉格朗日等，都认为他的结果是荒谬的。傅立叶的两个最主要的贡献:“周期信号都可表示为谐波关系的正弦信号的加权和”——傅里叶的第一个主要论点“非周期信号都可用正弦信号的加权积分表示”——傅里叶的第二个主要论点5.1傅里叶级数1.傅里叶级数的引进在
4、物理学中,我们已经知道最简单的波是谐波(正弦波),它是形如的波,其中是振幅,是角频率,是初相位.其他的波如矩形波,锯形波等往往都可以用一系列谐波的叠加表示出来.（一）周期函数的傅里叶展开非正弦周期函数:矩形波不同频率正弦波逐个叠加由以上可以看到：一个比较复杂的周期函数可以看作是许多不同频率的简谐函数的叠加2三角级数三角函数系的正交性三角级数引例中的简谐振动函数（1）åj+w+=¥=10)sin()(kkktkAAtfåwj+wj+=¥=10)sincoscossin(kkkkktkAtkAA,sinkkkAaj=,coskkkAbj=即:由三角函数组成的函
5、项级数成为三角级数则(1)式右端的级数可改写为(2)得到行如(2)式的级数称为三角级数å++¥=10)sincos(2kkkkxbkxaa三角函数系的正交性(1)三角函数系LL,sin,cos,2sin,2cos,sin,cos,1kxkxxxxx即i),0cos=òpp-kxdx,0sin=òpp-kxdx.],[:)2(上的积分等于零任意两个不同函数在正交pp-ii)iii).0cossin=òpp-nxdxkx),2,1,(L=nk其中,,,0sinsinîíì=p¹=òpp-nknknxdxkx,,,0coscosîíì=p¹=òpp-nknknx
6、dxkx),2,1,(L=nk其中3函数展开成傅里叶级数问题1.若能展开,是什么?2.展开的条件是什么?傅里叶系数.)1(0a求可得.)2(ka求ò=òpp-pp-kxdxakxdxxfcos2cos)(0]cossincoscos[1òò+å+pp-pp-¥=kxdxnxbkxdxnxaknn可得可得ò=pp-kxdxak2cos,p=kaòpp-p=kxdxxfakcos)(1),3,2,1(L=k.)3(kb求òòpp-pp-=kxdxakxdxxfsin2sin)(0]sinsinsincos[1òòåpp-pp-¥=++kxdxnxbkxdxnx
7、annn,p=kbòp=pp-kxdxxfbksin)(1),3,2,1(L=k从而得到傅里叶系数ïîïíì=p==p=òòpp-pp-),2,1(,sin)(1),2,1,0(,cos)(1LLkkxdxxfbkkxdxxfakkïîïíì=p==p=òòpp2020),2,1(,sin)(1),2,1,0(,cos)(1LLkkxdxxfbkkxdxxfakk或把以上得到的系数代入三角级数问题:该级数称为傅里叶级数å++¥=10)sincos(2kkkkxbkxaaå++¥=10)sincos(2?)(kkkkxbkxaaxf条件三角级数的收敛性定理:
8、若级数收敛,则级数在整个数轴上绝对收敛且一致收敛.由M判别法即得定
